La cognición matemática – 1

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En estos días, las ciencias cognitivas han prosperado a la luz de ciertos descubrimientos en relación con la mente humana. Esto ha permitido formular nuevas preguntas en cuanto a la relación cerebro y mente, cómo emerge la conciencia, entre otros asuntos interesantes.

De todos los problemas planteados por este campo y por la neurología, ninguno es tan fascinante como el de conocer los números. Hoy los científicos cognitivos se asombran que bebés de días o meses de nacido tengan lo que se ha denominado “sentido de número”. Lo mismo contemplan en animales no humanos, a veces descubriendo que tienen facultades matemáticas más avanzadas de lo que se pensaban.

Por otro lado, se han presentado varias propuestas en relación con este tema. Lo asombroso de ellas es que todas las propuestas se autoproclaman antirealistas o antiplatonistas. Para orientar a los lectores, ¿qué es el realismo?, ¿qué es el platonismo? El realismo matemático es una posición que afirma que los conceptos matemáticos tienen como referentes a objetos abstractos como realmente existentes. Hasta el momento hay dos vertientes realistas en filosofía de las matemáticas:

  1. Platonismo: Argumenta que dichos objetos matemáticos son entidades atemporales y esencialmente distintas e independientes de las temporales.
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  2. Aristotelismo: En este caso se argumenta que los números son objetos abstractos que encontramos junto a los objetos físicos. Esta fue una vez la posición de la filósofa Penélope Maddy en su libro Realism in Mathematics. Ella ya ha cambiado de parecer al respecto y ahora sostiene una perspectiva naturalista de las matemáticas (véase su libro Naturalism in Mathematics). Hasta donde sé, no hay otro filósofo que apoye esta perspectiva.

Para complicar el asunto, no hay un solo tipo de platonismo, hay varios. Por ejemplo, Gottlob Frege sostenía la existencia de los números en calidad de objetos lógicos, entidades saturadas que podían definirse puramente a partir de definiciones y axiomas lógicos. Como ya hemos discutido en otro lado, esta perspectiva logicista no prosperó. El filósofo canadiense James Robert Brown sostiene un punto de vista platonista no logicista, pero se parece mucho al fregueano en cuanto a que sostiene que los números son entidades saturadas. Otros platonistas son estructuralistas de distintos tipos, tales como Edmund Husserl y Jerrold Katz quienes sostienen que los objetos matemáticos son estructuras objetuales (es decir estructuras que relacionan objetos de cualquier tipo). Hay otros estructuralistas como lo son Michael Resnik, que identifican los números con lugares dentro de estructuras abstractas.

Obviamente el platonismo en todas sus vertientes tiene el mismo problema: si los conceptos matemáticos se refieren a objetos atemporales y abstractos, ¿cómo los conocemos? Para el filósofo antirealista Paul Benacerraf, ese es un gran problema para una filosofía satisfactoria. Sin embargo, como él bien reconoce, la vertiente antirealista tiene el problema de no poder dar cuenta por completo de la solidez de las verdades matemáticas que sí puede brindar el platonismo.

Ninguno de los científicos cognitivos que adoptan posiciones antirealistas del “sentido de número” consulta los problemas filosóficos al respecto. Solamente suponen que lo abstracto no puede existir en el mundo, que el postulado de una cognición platonista contradice cualquier evolución del cerebro vía selección natural y que los números son construcciones cerebrales.

Hay gente como George Lakoff que van muchísimo más allá y hacen algunas aserciones torpes en torno al tema. Aunque su propuesta sicológica es interesantísima y merece mucha atención (creo que es en gran medida correcta), él entiende que con ello condena el platonismo y, para sorpresa del que aquí escribe, pondría en “serios aprietos” a la filosofía analítica. Su argumento es que si su teoría es correcta pondría en peligro la concepción correspondentista de la verdad, ya que hay conceptos matemáticos de las que se pueden decir verdades que no tienen referente. Desgraciadamente para Lakoff, la filosofía analítica no se compone exclusivamente de platonistas y correspondentistas. Es más, cualquier revisión de la literatura analítica concluiría que predominan (especialmente en el ámbito anglosajón) posiciones antiplatonista y que desde ellas se busca dar cuenta del conocimiento matemático. W. V. O. Quine, figura insigne en la tradición, no era platonista ni correspondentista. Además, Lakoff se le olvida que existen otras teorías de la verdad tales como la coherentista, la pragmática, la de redundancia, entre otras. Por cierto, la teoría correspondentista no es exclusiva de la filosofía analítica, muchas vertientes de la continental también comparten esa convicción.

Lakoff también afirma que un punto de vista antiplatonista y antiobjetivista de las matemáticas no caería en relativismo por el hecho de que todos los seres humanos compartimos la misma estructura cerebral que permite la misma cognición de números. Es increíble que a las alturas del siglo XXI volvemos a un refrito ya propuesto desde el siglo XVIII y que fue refutado por Husserl en el primer volumen de sus Investigaciones lógicas. Como señala el filósofo, se cae en relativismo cuando se adopta esa posición. Es lo que él llamó “relativismo específico”, es decir, el enlazar las verdades lógicas (y por extensión las matemáticas) a las estructuras mentales de una especie. Eso significa que es posible que otras especies tengan su mente estructurada a pensar de otra manera. Sin embargo, levantaríamos la ceja escéptica ante cualquier argumento de que considere perfectamente admisible y racional que otra especie sostenga como verdad “2+2=3” (en nuestro sentido de esos números), una aserción claramente falsa, no importa la especie que la piense.

Las objeciones al platonismo son comprensibles. Sin embargo, es solo unas cuantas propuestas platonistas que son inviables para la cognición. Aquí abordaremos una posición platonista estructuralista como la propuesta por Edmund Husserl y Jerrold Katz. Sostenemos que esta posición, con un fuerte énfasis en Husserl, aclarará cualquier problema en torno a la cognición.
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¿Qué son los objetos matemáticos?

Si vamos a hablar de la cognición de números o del “sentido de número”, tenemos que buscar primero una definición satisfactoria para entender cómo podemos conocerlos.

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¿Los objetos matemáticos como conjuntos?

Es prácticamente una posición consensuada entre los filósofos de las matemáticas que los objetos matemáticos se pueden reducir a números y estos a su vez a conjuntos. Aunque se puede ver claramente por qué se piensa eso, Husserl y Benacerraf presentan objeciones importantes.

Comencemos primero con las de Benacerraf. En su clásico ensayo “What Numbers Could Not Be”, él problematiza toda la discusión en torno a la reducibilidad de los números a conjuntos. Aunque tal reducción suena sencilla, en realidad es más complicada que lo que parece. Por ejemplo, pueden utilizarse dos teorías distintas para dar cuenta de la iteración de números. Dependiendo de la teoría, dicha iteración que representa el 1, 2, 3, etc., podría ser según la teoría A: {∅}, {{∅}}, {{{∅}}}, etc.; y según la teoría B: {∅}, {∅,{∅}}, {∅, {∅}}, {∅, {∅, {∅}}}, etc. Dado este hecho, la reducibilidad de los números a conjuntos se vuelve un problema serio. Cuando Benacerraf escribió su artículo, él pensaba que esto refutaba “el platonismo”. Sin embargo, lo único que logró refutar es ciertas formas de platonismo que reducían los números a conjuntos. Sin embargo, esta crítica no alcanza a platonismos no reduccionistas.

Ahora veamos las observaciones de Husserl. En 1887, defendió su disertación doctoral titulada Sobre el concepto de número y que se expandió después en el primer volumen de una obra inconclusa titulada Filosofía de la aritmética, publicado en 1891. Allí intentaba dar cuenta de la objetividad de las matemáticas suponiendo que los objetos matemáticos eran productos de la mente humana. Sin embargo, en su mente siempre hubo una tensión entre el matemático y el sicólogo. Husserl se formó en matemáticas y se había codeado con la crême-de-la-crême de su tiempo: fue discípulo de Karl Weierstrass y Leopold Kronecker, tuvo como mentores y amigos a Leo Königsberger y Georg Cantor y conocía muy bien a Felix Klein, Ernst Zermelo y David Hilbert. De hecho, por quince años Husserl perteneció al Círculo de Hilbert. Además, omo ha resaltado la filósofa e investigadora Stefania Centrone, en su obra temprana Husserl propuso por primera vez en la historia la noción más general de función recursiva. Debido a que su literatura temprana ha sido tan poco estudiada a través de los años, la gloria de la enunciación de este concepto matemático se la llevó Stephen Kleene, quien la propuso y probó casi 50 años después (Centrone 47, 54-61).

El Husserl matemático otorgaba una objetividad a los números, que el Husserl sicólogo admitía solo en calidad de fabricación mental. Para él, los números no eran completamente ficciones, ya que se basaban en la captación de conjuntos de objetos de la experiencia humana. Si tengo “tres” lápices, o “cinco” personas al frente de mí, o “muchos” asistentes a la conferencia, entonces eso significa que los números se definen en términos de grupos o conjuntos de objetos que podemos percibir sensiblemente. El sentido de número lo adquirimos cuando abstraemos esos elementos sensibles y retenemos la forma (es decir, los conjuntos) que son base de los números cardinales. Debido a las limitaciones perceptivas de los objetos sensibles, se requiere un sistema signos que posibilite la computación aritmética. Los números se definirían recursivamente y se asignan reglas computacionales para obtener resultados fiables a nivel puramente algorítmico. De allí podemos derivar todos los conceptos y verdades matemáticas utilizadas en la aritmética.

Edmund Husserl

Edmund Husserl (1900). Foto cortesía de los Archivos de Husserl en Lovaina.

Sin embargo, en el invierno de 1890, un año antes de la publicación de su Filosofía de la aritmética, ya Husserl había abandonado su empresa. En una carta que le escribió a su mentor y amigo Carl Stumpf, le hizo saber que la aritmética no podía reducirse a números cardinales. Eso se debe en parte a que existen otros conceptos matemáticos perfectamente legítimos tales como los números ordinales, que no pueden reducirse a los cardinales. Además, hay otros tipos de números que no son constituibles con base en objetos sensibles tales como fracciones, números negativos, raíces negativas, números irracionales, entre otros. Todos estos números “imposibles” serían estrictamente productos imaginarios. Sin embargo, cuando se les relaciona con los números cardinales y se les asigna reglas matemáticas consistentes con ellos, estas nociones “contradictorias” se vuelven plenamente consistentes y se pueden usar científicamente. Es decir, es imposible reducir a todos estos conceptos a la noción de número cardinal y, por ende, al de conjuntos.
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Las entidades matemáticas como formas objetuales

Husserl también estaba preocupado por el asunto de la cognición de los números como tal para poder explicar su validez científica. Para ello distinguió entre dos esferas formales, a saber la de los significados y la de los objetos. En la esfera de los significados se encuentran las verdades, es decir, proposiciones que se cumplen en los objetos a los que se refieren. En la de los objetos, encontramos las formas de darse los objetos. Nuestro enfoque en esta discusión es en cuanto a esta esfera.

En Investigaciones lógicas (1900/1901), Husserl sostiene una perspectiva platonista de estas formas. Para entender en términos sencillos de lo que se trata, nos dice que lo que percibimos “de golpe” no son “datos sensoriales” (momentos de color, olor, sonido), sino estados de cosas (en alemán Sachverhalte). Es decir, yo no percibo tonalidades de blanco cuando miro a la pared, sino que veo la pared al frente de mí, esta  computadora sobre el escritorio, y otros estados de cosas parecidos. Todo estado de cosas tienen dos componentes:

  • Componente material: los objetos sensibles
  • Componente formal: la estructura formal que relaciona esos objetos

Husserl señala tabién que estas relaciones no son arbitrarias, sino que son constituidas por el entendimiento con base evidente en los objetos sensibles dados.

Nota aclaratoria: En la fenomenología husserliana, constitución no es lo mismo que creación. Sí, en el acto de relacionar objetos hay una actividad creadora mental innegable. Desde un punto de vista constitucional podemos hablar del “origen” de los números. Sin embargo, lo que valida la relación como tal es que se halla fundada en la esfera objetual, en lo que se da con evidencia sensorial o intelectiva.

Husserl llama “intuición sensible” a la percepción o imaginación de objetos sensibles. Denomina “intuición categorial” a la intuición de las formas objetuales en estados de cosas. Así que desde el punto de vista de aprehensión de fenómenos (es decir, desde un punto de vista fenomenológico), llevamos a cabo actos categoriales mixtos (intuición sensible y la categorial) en que se nos dan simultáneamente objetos sensibles y sus formas categoriales (formas objetuales) en estados de cosas. También añade a la lista una “intuición eidética” por la que nos percatamos con evidencia la posibilidad o imposibilidad, necesidad o contingencia, de ciertos objetos materiales o ciertas relaciones formales.

Vamos a intentar poner este asunto lo más en “arroz y habichuelas” posible. Por ejemplo, tenemos ante nosotros a María y Marta.

Siluetas

Los dos objetos sensibles constituidos son María y Marta que tienen ya una protorelación con base en la manera en que se nos dan, a esto Husserl llama situación (Sachlage). Puedo decir que María es más alta que Marta o que Marta es más baja que María. Con ambas aserciones nos referimos a dos estados de cosas distintos respectivamente que tienen como base una misma situación. ¿Por qué dos estados de cosas? Porque relacionamos formalmente los mismos objetos sensibles de manera distinta. Podemos ver sensiblemente a María y Marta, pero con base en esta percepción entendemos que una es más alta que la otra o que la segunda es más baja que la primera. Puedo también constituir otro estados de cosas:  el conjunto de Marta y María, la primera es María y después Marta de izquierda a derecha; o primero es Marta y después María de derecha a izquierda, etc. Todas estas palabras “conjunto”, “mayor”, “menor”, “primero”, “después”, etc. son formas objetuales, son estructuras formales de estados de cosas. Ellas no se perciben sensiblemente sino que se fundan en lo sensiblemente dado.

Vale decir que por intuición eidética sabemos que es perfectamente posible que si María es más alta que Marta, entonces esta última es más baja que María. Es imposible que si María es más alta que Marta, entonces Marta sea más alta que María. Como insiste Husserl en su obra, la captación o percepción de necesidades y posibilidades se nos dan instantáneamente y no son producto de hábito o costumbre. Jerrold Katz lo describe perfectamente de la siguiente manera:

Consider the pigeon-hole principle. Even mathematically naive people immediately see that, if m things are put into n pigeon-holes, then, when m is greater than n, some hole must contain more than one thing. We can eliminate prior acquaintance with the proof of the pigeon-hole principle, instantaneous discovery of the proof, lucky guesses, and so on as “impossibilities.” The only remaining explanation for the immediate knowledge of the principle is intuition (45).

Para Husserl, las bases de las matemáticas son las formas objetuales mismas, las estructuras formales de los estados de cosas. Estas pueden representarse mediante signos y se pueden asignar reglas para llevar a cabo operaciones computacionales. Sin embargo, una de las cosas que insistía Husserl era que dichos procedimientos de computación no son arbitrarios sino que son evidentemente necesarios. Nuestro entendimiento conoce al instante su necesidad con base en el darse posible en estados de cosas.  Por ende, la legitimidad de los procesos matemáticos descansa en su absoluta verdad atemporal válida siempre y para todo ser racional con total independencia de las especies que sean y de sus facultades mentales. Así como es una verdad atemporal que todo círculo es redondo, es verdad atemporal que todo objeto (el que sea) siempre se tiene que dar de acuerdo a unas estructuras formales que se relacionan de manera posible o necesaria con otros objetos y estados de cosas. Husserl llama matemática teorética (como extensión de la lógica teorética) a este lado atemporal de las matemáticas que legitima la corrección de actos computacionales mentales.
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Las estructuras madre de las matemáticas

Como hemos visto, Husserl incluye a los conjuntos como estructuras objetuales. Esta es una perspectiva semejante a la de Nicolai Bourbaki, un grupo de personas que designaban a estas estructuras formales como “estructuras madre”, aunque no les otorgaban ontología como hacía Husserl.   El rechazo al reduccionismo nos indica que para Husserl el conjunto no era las única estructura madre, sino que era una de muchas. Entre las que identificó en sus obras se encuentran: conjuntos, número cardinal, número ordinal, todo y partes, unidad y pluralidad, relación y objeto (en sentido general). Ninguna de estas formas es reducible a la otra.

Afirma Husserl que aunque estas estructuras forman los estados de cosas, las matemáticas no tratan de estados de cosas que involucren objetos sensibles. Las matemáticas investigan las relaciones posibles y necesarias de las formas objetuales en su pureza. Mediante la sustitución de los objetos sensibles por “indeterminados” (variables), podemos obtener la forma objetual pura. A este acto llamaba Husserl “abstracción categorial”, por la que podemos constituir categorías puras. Para todos los efectos, esta perspectiva provee una epistemología platonista de los conceptos matemáticos: todo lo que requiere es intuición categorial y abstracción categorial para la constitución de objetos matemáticos y la intuición eidética para investigar sus relaciones esenciales.

También reconoció la necesaria relación entre la verdad y la existencia. Toda proposición que tenga como referente a objetos debe suponer su existencia (lo que los filósofos conocemos como “el compromiso ontológico”). Husserl adoptó una suerte de teoría correspondentista en que considera verdadero todo juicio que se cumple en un estado de cosas correspondiente. Si esto es así, todo juicio matemático verdadero tiene como referente a estructuras formales existentes y objetivas. En otras palabras, tienen existencia ideal.

… los objetos ideales existen verdaderamente. Es evidente que no solo tiene sentido hablar de tales objetos (por ejemplo: del número 2, de la cualidad de rojez, del principio de [no] contradicción y otros semejantes) y representarlos como dotados de predicados, sino que también aprehendemos intelectivamente ciertas verdades categóricas, que se refieren a estos objetos ideales. Si estas verdades valen, tiene que existir todo aquello que presupone objetivamente su validez. Si veo con intelección que 4 es número par, que el predicado enunciado conviene realmente al objeto ideal 4, entonces este objeto no puede ser una mera ficción, una mera “façon de parler“, una nada (Investigaciones 309).

Fundándose en la noción de “objeto cualquiera”, para Husserl las formas objetuales son cada una de ellas el fundamento de sus respectivos campos de investigación matemáticas:  el conjunto es base de la teoría de conjuntos, los números cardinales son la base de la aritmética de números cardinales, los números ordinales son la base de la teoría de números ordinales, el todo y las partes fundamentan la mereología y así por el estilo. Esto no impide en absoluto que en matemática formal se busquen las relaciones entre distintos tipos de formas objetuales, como la de conjuntos de números cardinales, o entre conjuntos, todos y partes.  Para Husserl, la lógica formal tiene como correlato a la matemática formal y juntas constituyen la mathesis universalis soñada por los filósofos racionalistas como G. W. Leibniz.
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Primeras conclusiones

El lector tal vez se sorprenda de que la epistemología platonista por la que abogamos no suene demasiado místico o misterioso, sino que sea sorprendentemente ordinario. Que podemos reconocer estructuras formales con base en objetos sensiblemente dados es tal vez lo más trivial que se pueda señalar para un asunto que parecería ser demasiado complicado.

El énfasis en el lado objetual del conocimiento matemático y no en las facultades o procesos mentales que lo hacen posible tiene la intención de señalar unas fallas cruciales de los supuestos acercamientos antiplatonistas de algunos científicos cognitivos:

  1. En primer lugar, sostenemos que las intuiciones que hemos discutido (sensibles, categoriales y eidéticas) son todas productos de la selección natural. No hay razón alguna para pensar que una epistemología platonista requiera unas facultades sobrenaturales para percibir objetos abstractos. Al contrario, argumentamos que es precisamente por selección natural que es posible el desarrollo gradual de un cerebro que por supervivencia pueda percibirentender a nivel rudimentario los estados de cosas que representen de una u otra forma un reto para su existencia. El relojero ciego de la evolución va creando así los mecanismos de computación que hacen posible el llamado “sentido de número” (término que a veces confunde la intuición categorial con la eidética). Debido a accidentes históricos de nuestros antepasados, fueron desarrollando facultades de cálculo y ejecución que permiten ya las bases para el desarrollo de las matemáticas como las conocemos. Sin embargo, esta computación tiene como base los estados de cosas con los que los organismos deben enfrentarse en el proceso de sobrevivencia.
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  2. Lo segundo es que no hay lugar a dudas que los actos de constitución de formas objetuales (números, conjuntos, etc.) son actos mentales y que requieren de la interacción modular de nuestra mente humana. Sin embargo, su verdad no depende de esta, sino de su necesidad y posibilidad ideales. No confundamos los actos mentales con la validez de sus contenidos: el acto de constituir la mesa con la mesa misma, o el acto de constituir el dos con el dos en sí. Los estados de cosas (no el cerebro humano) son la base cognitiva ya que sus objetos tienen que darse de ciertas maneras o formas y no de otras. Intelectivamente podemos reconocer  y comprender la diferencia entre ellos. Las relaciones necesarias y posibles entre dichas formas tampoco depende de reglas que arbitrariamente les asignamos, sino que tienen como objeto la preservación de las verdades matemáticas deductivamente a partir de axiomas (verdades reconocidas eidéticamente como autoevidentes, e.g. “x + y = y + x“).
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  3. Corrimiento del perihelio de Mercurio

    Representación (exagerada) del corrimiento del perihelio de Mercurio. Ilustración cortesía de Rainer Zenz.

    En tercer lugar, también falla en dar cuenta cómo es posible que las matemáticas determinen las relaciones objetuales en el universo (en otras palabras, como diría Galileo, “por qué el universo está escrito con números”). El que el cerebro humano pueda computar números no explica este fenómeno, ya que deja fuera el factor de la obediencia de todos los objetos del universo a las relaciones formales matemáticas. Sí, Lakoff argumenta que las matemáticas no están afuera porque no hay “elipses allá afuera” y la órbita de los planetas no es realmente pura elipse.  Estamos totalmente de acuerdo, pero eso se debe a la interacción compleja entre objetos físicos conocidos y desconocidos. Además, su falta de adaptación a nuestras figuras idealizadas y divergencias de nuestros modelos se deben a nuestro desconocimiento de ciertas variables físicas de esta complejísima interacción entre objetos. Es un problema cognitivo, no objetual. Sin embargo, dichas interacciones  están matemáticamente determinadas, aun si desconocemos algunas variables de dichas interacciones. Por eso, toda teoría científica debe ajustarse a las matemáticas y no al revés.
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  4. Cuarto, como explicaremos con mayor detalle en la siguiente entrada de esta serie, este tipo de epistemología platonista explica muy bien por qué los animales no humanos y los bebés tienen un “sentido de número”.  Una vez más, tiene que ver con la génesis constitutiva de estados de cosas. Cuando un animal abre sus ojos al mundo, lo ve organizado y ordenado en unas protorelaciones que le permiten reconocer grupos o relaciones numéricas entre objetos. Lo mismo ocurre con los bebés cuando son “sensibles” a la integración o eliminación de un elemento de algún conjunto. Las formas “conjunto” y “número” se dan en cualquier estado de cosas a nivel rudimentario gracias a poder intuir categorialmente (intuición categorial mixta) al momento de percibirlo.
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  5. Finalmente, si seguimos la filosofía de Husserl, parecería que el término “sentido de número” es equivocado. Si hay estructuras formales matemáticas que no son numéricas, pero que sí son formas objetuales, entonces debemos utilizar otro término. Sugiero (¡por supuesto!) “intuición categorial”. A su vez, debemos identificar distintos tipos de actos categoriales y sus formascorrespondientes: el acto de agrupar y los conjuntos, el orden de las cosas y los números ordinales, la enumeración cardinal y los números cardinales, la identificación del todo y sus partes, etc.

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Referencias

Benacerraf, Paul. “Mathematical Truth”. En Benacerraf y Putnam, pp. 403-420.

—. “What Numbers Could Not Be”. En Benacerraf y Putnam, pp. 272-294.

Benacerraf, Paul y Hilary Putnam, editores. Philosophy of Mathematics. Selected Readings. 2da. ed., Cambridge UP, 1983.

Centrone, Stefania. Logic and Philosophy of Mathematics in the Early Husserl. Springer, 2010.

Husserl, Edmund. Early Writings in the Philosophy of Logic and Mathematics. Editado y traducido por Dallas Willard, Kluwer, 2004.

—. Experiencia y juicio. Investigaciones acerca de la genealogía de la lógica. Traducido por Jan Reuter. U Nacional Autónoma de México, 1980.

—. Ideas relativas a una fenomenología pura y una filosofía fenomenológica. Libro Primero: Introducción general a la fenomenología pura. Traducido por José Gaos y refundido por Antonio Zirión Quijano, U Nacional Autónoma de México / Fondo de Cultura Económica, 2013.

—. “Letter from Edmund Husserl to Carl Stumpf”. Early Writings, pp. 12-19.

—. Introduction to Logic and Theory of Knowledge. Lectures 1906/1907. Traducido por Claire Ortiz Hill, Springer, 2008.

—.  Investigaciones lógicas. Traducido por Manuel García Morente y José Gaos, Alianza, 2006.

Katz, Jerrold. Realistic Rationalism. MIT P, 1998.

 

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Los teoremas de Gödel, lo que dicen y lo que no implican

Kurt Gödel

Kurt Gödel (1906-1978)

En 1931, un excéntrico joven matemático austriaco llamado Kurt Gödel (1906-1973) pudo probar que un sistema matemático necesariamente debe ser “incompleto”. En el ámbito académico fuera de las matemáticas, usualmente se habla de “el teorema de incompletud” y muchos han conjeturado en torno a sus implicaciones. Usualmente muchas de sus aserciones son desacertadas.

Alan Sokal y Jean Bricmont, en su libro Imposturas intelectuales, presentan varias citas de académicos, algunos identificados con el llamado “posmodernismo” que reflejan una total ignoracia sobre el tema, pero que algunos doctores de disciplinas externas a las matemáticas dan por buenos. Por ejemplo:

La compatibilidad del axioma de elección y de la hipótesis generalizada del continuo con los axiomas de la teoría de conjuntos nos sitúa al nivel de un razonamiento a propósito de la teoría: una metateoría (y ese es el estatus del razonamiento semiótico) en la que los metateoremas han sido puestos a punto por Gödel. – Julia Kristeva (Sokal y Bricmont 58).

La noción de constructibilidad implicada por el axioma de elección, asociado a todo lo que acabamos de exponer con relación al lenguaje poético, explica la imposibilidad de establecer una contradicción en el espacio del lenguaje poético. Esta constatación se aproxima a la Gödel, relativa a la imposibilidad de establecer la contradicción de un sistema a través de medios formalizados en ese sistema. – Julia Kristeva (Sokal y Bricmont 60).

El enunciado del “secreto” de los infortunios colectivos, es decir, de la condición a priori de toda historia política pasada, presente y futura, se expresa en unos cuantos términos sencillos e infantiles. Si nos fijamos en que las definiciones del sobretrabajo y del inconsciente, se limitan, cada una de ellas a una sola frase (y, en ciencias físicas, la ecuación de la relatividad general a tres letras), nos guardaremos de confundir simplicidad con simplismo. Este secreto tiene la forma de una ley lógica, generalización del teorema de Gödel: no existe ningún sistema organizado sin clausura y ningún sistema puede clausurar exclusivamente con la ayuda de sus elementos interiores. – Régis Debray (Sokal y Bricmont 176).

Desde el día en que Gödel demostró que no existe una prueba de la consistencia de la aritmética de Peano formalizable en el marco de esta teoría (1931), los politólogos pudieron, por fin, comprender por qué había que momificar a Lenin y exhibirlo a los camaradas “accidentales” en un mausoleo, en el Centro de la Comunidad Nacional – Regis Débray (Sokal y Bricmont 175).

Si vamos a personas como Jean Beaudrillard o Michel Serres y otros, la cosa no mejora mucho. Para todo aquel que sea matemático y que lea estas citas estará en una de tres condiciones:

  1. O se le ha caído la quijada ante los disparates monstruosos de lo que se han hecho pasar por “grandes pensadores” en la academia o
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  2. estará muerto de la risa o
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  3. a punto de salir para darse varios tragos de whiskey para lidiar con estos sinsentidos.

Por otro lado, el público que no esté familiarizado con la lógica formal, las matemáticas avanzadas, la filosofía de la lógica o la filosofía de las matemáticas, se habrá asombrado de lo que reclaman Kristeva, Debray y otros. Lo que deberían saber, por razones que se harán obvias en este artículo, es que ninguno de ellos sabe de lo que dicen, pero introducen alusiones a los teoremas de Gödel y otros conceptos matemáticos precisamente para impresional al lector sin que eso aporte a lo que se esté discutiendo.

Por cierto, no hablamos de “el” teorema de Gödel, sino los teoremas de incompletud de Gödel. ¿Qué es lo que dicen? ¿Por qué son importantes? Y ¿cuáles son sus consecuencias?
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Un poco de historia

Desde el siglo XVIII hasta principios del siglo XX, las matemáticas florecieron de una manera impresionante al desarrollar teorías de los números imaginarios (es decir, raíces negativas), el cálculo (Isaac Newton y G. W. Leibniz), la geometría analítica, las geometrías no euclidianas, la teoría de conjuntos, entre otros.

Por el lado de la lógica, ciertos filósofos como Leibniz exploraban su asociación con las matemáticas.  Leibniz argumentaba que la lógica podía ser formalizable y convertirse junto a las matemáticas en una mathesis universalis, la matemática más universal de todas. Otros pensadores como Hermann Lotze y otros estuvieron de acuerdo con este parecer. Sin embargo, no fue hasta el siglo XIX que comenzaron varios intentos de la formalización de este campo. George Boole desarrolló la llamada “lógica booleana” que todavía se utiliza hoy día, especialmente en áreas de la computación. Charles S. Peirce también puso su grano de arena al desarrollar una teoría semiótica utilizando variables proposicionales.

¿Cómo debería entenderse la relación entre la lógica formal y las matemáticas? Esa era la pregunta filosófica que se hacían mucho. Para unos, como Immanuel Kant, eran dos disciplinas aparte (la primera es analítica y la segunda sintética a priori). Para otros, como Lotze, la aritmética (una de las ramas de la matemática) debía verse como una rama de la lógica.

Gottlob Frege (1905)

Gottlob Frege (1848-1925) en 1905.

Uno de los discípulos de este último llamado Gottlob Frege (1848-1923) se propuso precisamente a proyectar ese programa. En 1879 publicó un librito titulado Conceptografía (Begriffsschrift) donde proponía un sistema simbólico de la lógica formal con la que quería conseguir derivar la matemática no geométrica a partir de la lógica. También escribió un texto esencial actualmente en filosofía de las matemáticas titulado Los fundamentos de la aritmética (1884) donde intentaba justificar su notación y exponía su visión filosófica de la que partía. Tras escribir unos ensayos de filosofía del lenguaje para aclarar unos puntos semánticos (“Función y concepto”, “Sobre sentido y referente” y algunos otros) emprendió su labor.

Para comprender la obra de Frege y otros que discutiremos, debemos tener en cuenta que ha habido un debate milenario entre dos vertientes de la filosofía de las matemáticas: los realistas, es decir, aquellos que afirman que las entidades matemáticas tales como los números existen de alguna manera y los antirealistas, aquellos que niegan dicha existencia. El realismo usualmente ha tomado la vertiente platonista, es decir, una perspectiva que sostiene que el ser de estos entes matemáticos es fundamentalmente distinto al del mundo material, por lo que postula un ámbito atemporal distinto al temporal. Frege y otros en su tiempo (Georg Cantor y el mismo Kurt Gödel) sostenían esta posición. Otros partían de una posición antirealista, especialmente la del formalismo, una forma del nominalismo.  El nominalismo matemático postula que no existen los números ni otros conceptos abstractos, sino que estos no son más que los numerales. Visto de esta manera, las matemáticas no pasan de ser manipulación de puros signos sin significado (Brown cap. 5; Katz 10–24).

En 1893 publicó el primer volumen de su libro, Leyes fundamentales de la aritmética (Grundgesetze der Arithmetik) que intentaba probar su programa logicista, es decir, de demostrar que la aritmética se derivaba de la lógica. Al Frege distinguir entre signo, sentido (significado) y referente, él argumentaba que el formalismo de su época era inviable. En primer lugar, si los signos no tuvieran sentido (significado) no se explican ciertas reglas que al no seguirlas derivan contradicciones (por ejemplo, la división por cero). También, al reducir los números a meros signos, cualquier instancia del signo visual o auditivo (hoy le llamaríamos “tokens“) constituiría un número cualitativamente distinto. Si no tuvieran el mismo significado (el “type“) no se explica que hablemos de los números y sus propiedades.  Además, si las reglas en cuanto a estos tokens fueran puramente arbitrarios, entonces cualquier aserción en torno a estas reglas serían igualmente arbitrarias, convicción insostenible para cualquier matemático. Además, una cosa es el signo y otra el referente y esto se puede observar claramente cuando hablamos de las propiedades de los números:  las propiedades del numeral individual “2” que usted ve en su pantalla (es negro, entrecomillado, signo arábigo, etc.) es distinto al del dos como tal (es número primo, primer número par, el segundo número de los números naturales, etc.).(Brown cap. 5; Frege, “Grundgesetze” 200-201, 206-211; Rosado Haddock 343-346). Por lo tanto, para que las aserciones de la aritmética sean verdaderas, los numerales deberían tener significado y denotar los objetos a los que se refiere. Además, según su esquema logicista, debían ser objetos lógicos.

Una vez establecida esta filosofía, con el postulado de diversos axiomas y una regla de inferencia comenzó el proceso de probar la derivación de la aritmética a partir de la lógica. En 1901, antes de publicar el segundo volumen, recibió una carta del filósofo Bertrand Russell observándole que sus axiomas caían inevitablemente en lo que hoy se conoce como la Paradoja de Russell.

Hecho interesante: Aunque la paradoja de Russell se le conoce así por la carta de su autor a Frege, es menester señalar que el matemático Ernst Zermelo lo encontró antes y aparte de Russell en el contexto de la teoría de conjuntos.  Una vez lo descubrió, se lo dejó saber a David Hilbert y a Edmund Husserl.  De hecho, la evidencia más antigua que tenemos del descubrimiento de Zermelo es con el puño y letra de Husserl (Rang y Thomas). Es por esto que algunos filósofos argumentan que debería conocerse a este descubrimiento como la “Paradoja Zermelo-Russell”.

Frege publicó el segundo volumen de Los fundamentos en 1902 con un remiendo a la luz de dicha paradoja. Sin embargo, parece haberse dado cuenta que tal medida no funcionaba. Frege implícitamente se dio cuenta de que su programa logicista colapsó y optó por otra ruta de fundamentación de la aritmética.

Bertrand Russell

Bertrand Russell (1872-1970)

Este no fue el final del logicismo. Dos pensadores importantes de la lógica moderna, Bertrand Russell (1872) y Alfred N. Whitehead (1861-1947), diseñaron un nuevo programa con este propósito. Durante el periodo de 1910 a 1913, publicaron una obra clave en la historia de la lógica, las matemáticas y la filosofía analítica conocida como Principia Mathematica.  Este era un proyecto logicista mucho más ambicioso que el de Frege, ya que buscaba derivar no solo la aritmética sino toda la matemática de una serie de principios lógicos. Gracias a la labor del formalista David Hilbert, era posible reducir formalmente cualquier rama matemática del momento a un sistema formal basado en los axiomas de Peano, por lo que hacía más fácil establecer su vinculación con la lógica formal.

Allí, Russell y Whitehead desarrollaron lo que se conoce hoy como la lógica o cálculo de primer orden con las notaciones actuales usadas en la lógica formal. A pesar de la voluminosidad de la obra, no todos los filósofos, lógicos y matemáticos estaban convencidos de los resultados de la Principia. Por ejemplo, Russell y Whitehead se vieron en la necesidad de introducir lo que denominaron el “axioma de la reducibilidad“, un  postulado cuya única función era resolver un problema del sistema, a saber, derivar las matemáticas de la lógica mientras que se establece una distinción entre las fórmulas predicativas y las que no lo son. Al igual que en las ciencias, si los lógicos y matemáticos notan que una conjetura que no es autoevidente se introduce a conveniencia (es decir, tiene una función similar a la de un “remiendo”) sin justificación alguna, ellos levantan su ceja escéptica. El mismo Russell reconoció el problema.

David Hilbert

David Hilbert (1862-1943)

En todo este proceso, también intervino en esta compleja discusión otro gran genio matemático, David Hilbert (1862-1943). Él era formalista, pero más sofisticado que los anteriores.  Para él los números no existen, pero designan a formas estructurales de los objetos. Seguía la pauta de Kant, de que hay una intuición matemática que nos permite sacar verdades numéricas, como la de ver que al siete le puedo añadir cinco objetos más para alcanzar el doce, por lo que 7+5=12. Sin embargo, también estaba comprometido a dar cuenta de los transfinitos postulados por Georg Cantor y su teoría de conjuntos, pero sin caer en el platonismo (al menos en cuanto a decir que los infinitos matemáticos realmente existen). Los signos matemáticos como tal no tienen referente alguno sino que representan ciertas estructuras en el mundo.  Sin embargo, no tenemos experiencia alguna de “infinitos” en el mundo físico. La razón de este compromiso es que se quiere conservar la matemática clásica que relaciona objetos en el mundo, pero también se desea adaptar a las teorías matemáticas contemporáneas como la de conjuntos.

Para ello separó dos tipos de signos, aquellos que sí significaban algo y que denotaban estructuras cognoscibles en el mundo físico. Por el otro lado, aquellos signos que carecían de significado, pero que cumplían un rol importante dentro de las matemáticas (e.g. aquellos signos que representaban infinitos). Para Hilbert, se podían añadir a un sistema matemático cuanto símbolo carente de significado se tuviera, siempre y cuando el sistema de signos en su totalidad fuera completamente consistente, es decir, no generara ninguna paradoja o contradicción. Ya que se puede formalizar la lógica, las matemáticas en su totalidad, incluyendo la geometría (es decir, al convertir todas sus aserciones en sistemas de signos y someterlas a reglas formales), la pregunta pertinente era si un sistema numérico formalizado como el propuesto pr Principia era suficiente (es decir, “completas”) para derivar todas las fórmulas válidas posibles a partir de un conjunto de axiomas. A la búsqueda de esta respuesta se dedicó lo que se conoció como el “Programa de Hilbert“.
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El teorema de completud de Gödel

Kurt Gödel fue un gran matemático al que muchos han llamado el Einstein de las matemáticas, debido a que su obra fue en cierto sentido tan impactante en su campo como la teoría especial y general de la relatividad lo fue en el de la física. Generalmente se le ha visto como un miembro del Círculo de Viena, un grupo de intelectuales que investigaban filosóficamente la viabilidad de algún esquema epistemológico con base en los principios pautados por el empirista lógico Moritz Schlick. En realidad, Gödel nunca estuvo en sintonía con el grupo, especialmente por la obsesión de Schlick por Ludwig Wittgenstein. En ocasiones, el matemático hacía preguntas que irritaban al carismático autor del Tractatus Logico-Philosophicus. Era un platonista de la tradición racionalista que se codeaba con empiristas convencionalistas.

A pesar de ello, Gödel asistía al grupo, ya que era un centro importante de discusión de la lógica en Austria. A fin de cuentas, la obra empirista lógica era más lógica que empirista. Habían discípulos de Frege, Husserl (Rudolf Carnap lo era en secreto) y Russell entre sus filas y utilizaban la lógica de primer orden como base para sus discusiones. Más tarde, después asistir a una conferencia de Hilbert se interesó por el tema de la completud de las matemáticas y en 1928 leyó el libro Principios de la lógica matemática cuyo coautor era Hilbert. Allí se delimitaba el cálculo de primer orden de Principia Mathematica y sofisticó su capacidad deductiva. Sin embargo, todavía se planteaba la pregunta de si el sistema propuesto podía derivar todas las proposiciones válidas a partir del cálculo de primer orden.

En 1929 aprobó su tesis doctoral que consistió en buscar dicha suficiencia y cuya prueba publicó en 1930 bajo el título de “La completud de los axiomas del cálculo de primer orden” (Gödel, “La suficiencia”). Su respuesta a la interrogante era afirmativa: los recursos provistos por la lógica de primer orden eran suficientes para derivar todas las proposiciones válidas del sistema.

Teorema de la completud de Gödel:  Cualquier proposición válida de la lógica de primer orden se puede derivar utilizando los recursos provistos por los signos y los axiomas postulados en Principia Mathematica.

¿Qué significa “completud” en este contexto?

  1. Desde un punto de vista puramente de signos (sintaxis), los signos provistos eran suficientes para expresar cualquier proposición lógica válida.
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  2. Los axiomas y las reglas de inferencia del sistema propuesto por Russell y Whitehead son suficientes para derivar todas las posibles proposiciones lógicamente válidas.  Por ende, no hacen falta más axiomas o reglas de inferencia para derivar cualquier proposición formal lógicamente válida.
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  3. Solamente las proposiciones válidas eran derivables del sistema axiomático.
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  4. Que el sistema axiomático del cálculo de primer orden se encontraba libre de contradicciones.
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  5. Que una proposición probada sintácticamente dentro del sistema corresponde a una verdad semántica. Si la proposición F es verdadera dado el sistema de la lógica de primer orden, entonces ella puede ser probada dentro el sistema.

Este resultado fue motivo de regocijo para muchos, incluyendo a Hilbert. Sin embargo, esto no demostraba todavía que las matemáticas en general fueran completas.
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Los teoremas de incompletud de Gödel

El aliento esperanzador resultó ser prematuro. Al año siguiente, en 1931, Gödel publicó un artículo devastador para el programa de Hilbert (Gödel, “Sobre sentencias”). Logró probar dos teoremas sumamente importantes cuando se trata de la matemática formalizada en general:

  1. Un sistema axiomático consistente de la matemática formalizada  no puede derivar todas las fórmulas matemáticas que son verdaderas dentro del sistema.
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  2. Si un sistema axiomático de la matemática formalizada es consistente, entonces su consistencia no puede probarse dentro del sistema.

¿Qué significa eso? En cuanto al primer teorema, la consecuencia es clara. Hay fórmulas matemáticas que son verdaderas, pero que no pueden derivarse por el sistema axiomático, no importan cuántos axiomas se añadan para ello. Por ende, hay fórmulas que ellas o su negación no pueden decidirse como verdaderas dentro del sistema axiomático.

Lo otro es que si la matemática en general es consistente, entonces no podrá probarse como consistente dentro del sistema no importa los recursos que provea.
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Lo que los teoremas no están diciendo

Contrario a lo que piensan muchos académicos fuera del ámbito de las matemáticas, estos teoremas de incompletud no afirman lo siguiente:

  • No dicen que las matemáticas son contradictorias. Al contrario, puede ser que sean perfectamente consistentes, pero su consistencia no puede probarse dentro del sistema.  Además, que la aritmética de números naturales se ha probado consistente, véase por ejemplo la prueba de Gerhard Getzen.
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  • No dice que “cualquier” sistema axiomático deductivo sea incompleto.  Como hemos visto, la lógica de primer orden es completa o suficiente para derivar todas las proposiciones verdaderas dentro de ese sistema.
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  • Tampoco significa que ciertas ramas de las matemáticas consideradas por su cuenta no sean completas dentro de esa rama. Por ejemplo, Euclides estuvo muy cerca de crear un sistema geométrico que derivara todas las verdades geométricas que fueran consistentes con el axioma de las paralelas.
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  • Según Stephen Hawking, los resultados de Gödel implican que no puede haber una “Teoría del Todo”. Esto depende de cómo se defina “Todo” en este contexto. Lo que busca la física con la “Teoría del Todo” es unificar nómicamente dos áreas que de acuerdo con nuestras teorías presentes son incompatibles:  la fuerza gravitacional por un lado y, por el otro, las fuerzas electromagnéticas, nucleares fuertes y nucleares débiles. De esa manera se podría establecer solo un grupo de leyes consistentes que apliquen a todo el universo. Ahora, si por “Todo” se entiende todos los posibles fenómenos derivables de un conjunto de leyes postuladas por esa teoría, entonces podría ser posible que no se derivaran matemáticamente todas sus “verdades”.  El problema con hablar de derivar “verdades” en este contexto es que toda teoría física, por más buena y sofisticada que sea, es “verdadera” en un sentido muy tentativo:  es la mejor teoría disponible, pero nada garantiza que mañana la “Teoría del Todo” pueda ser superada de la misma manera que la teoría general relatividad de Einstein superó a la de Newton. Ninguna teoría puede tomarse como “verdad” en el sentido estricto del término.
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  • Tampoco hace aserción alguna sobre asuntos políticos o sociológicos. Contrario a Debray, Serres y otros “pensadores” perdidos en el espacio, los teoremas nada dicen sobre la revolución Rusa o sobre el futuro del planeta Tierra en términos económicos, políticos y sociales. Todo aquel que afirme lo contrario no pasa de ser o un ignorante o un charlatán.
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  • No probó la inexistencia de un ámbito abstracto matemático. Al contrario, Gödel vio en este caso una reafirmación de su platonismo. Es más, le sirvió para argumentar contra ciertas posturas antirealistas tales como el constructivismo matemático. Por ejemplo, si hay fórmulas matemáticas verdaderas de un sistema matemático, pero no puede derivarse de ellas, entonces las matemáticas no pueden ser construcciones nuestras. Todo constructor debe tener al menos algún conocimiento de las propiedades de su constructo. Aun si se argumentara que el constructor no puede conocer toda su construcción o sus consecuencias sino solo partes de ellas, todo constructor necesita una “materia prima” objetiva en la que debe basar su construcción, lo que presupone para las matemáticas la existencia de un ámbito objetivo en la que deben basarse nuestras construcciones. ¿Por qué? Porque al fin y al cabo, la construcción no puede ser “por la libre”, tiene que obedecer nómicamente las relaciones matemáticas para funcionar. Sin embargo, no todas estas leyes son cognoscibles dentro de los sistemas que se construyan (Rosado Haddock 347-349).
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El impacto para las matemáticas, la filosofía y las ciencias computacionales

Uno de los resultados más obvios después de la publicación del ensayo de Gödel es que le puso punto final al Programa de Hilbert. De eso hay poca disensión actual al respecto.

En segundo lugar, impactó sustancialmente a los programas logicistas del momento. Sencillamente, de la suficiente y completa lógica de primer orden no se puede derivar la insuficiente o incompleta aritmética de primer orden. Si un sistema finito de axiomas matemáticos no puede derivar todas las fórmulas matemáticas verdaderas, entonces no puede hablarse de que las matemáticas se deriven de los axiomas y reglas de inferencia de la lógica de primer orden.

Por cierto, eso no excluye que ambas disciplinas no sean “analíticas”, pero la analiticidad de las matemáticas ya no puede fundarse en definiciones logicistas (como la de Frege). Además, hay concepciones de la mathesis universalis que no son reduccionistas de esta manera. Por ejemplo, para Edmund Husserl, la lógica (lo que él llamaba “apofántica formal”) y las matemáticas formales (“ontología formal”) son dos disciplinas hermanas, analíticas, pero distintas. Las dos juntas forman la mathesis universalis soñada por Leibniz. Solo le otorgó ontología a los objetos matemáticos y los concibió como estructuras formales objetuales, no como objetos lógicos como Frege hacía. Es menester señalar que desde los años sesenta, ha habido un reavivamiento del logicismo (denominado “neologicismo”) basado en Frege que continúa hasta el día de hoy y procura superar los problemas que representan los teoremas de Gödel.

Lo otro que ocurrió tras la publicación en torno a los teoremas de incompletud es la distinción entre “verdad” y “prueba”. Solo algunas aserciones verdaderas de las matemáticas pueden derivarse de un grupo de axiomas. Sin embargo, contrario a la lógica de primer orden, no toda aserción matemática verdadera en el sistema puede ser probada por el sistema. Esto posibilitó el florecimiento de campos nuevos tales como la teoría de modelos, que estudia lógicamente la relación entre conjuntos de fórmulas de algún lenguaje formalizado y las estructuras matemáticas por las que se interpretan; de esta manera, trata de captar algunos aspectos semánticos de los lenguajes formalizados.

Otra distinción que se hizo era el de “completud sintáctica” y “completud semántica”. La completud sintáctica tiene que vercon el asunto de si el sistema es suficiente para derivar cualquier fórmula bien formada o su negación como teorema del sistema. La completud semántica ocurre cuando cualquier verdad deducida de un sistema axiomático es teorema de este. Gödel probó que la lógica de primer orden era semánticamente completa y también probó que las matemáticas formales no eran sintácticamente completas, debido a que hay fórmulas que no son derivables del sistema.  Por ende, el primer teorema de incompletud de Gödel se refiere a la completud sintáctica. En esta etapa, el gran matemático no había distinguido entre estos dos tipos de completud o suficiencia.

Ilustración de una máquina de Turing

Ilustración de una máquina de Turing.

También los teoremas tuvieron un resultado interesante con relación al tema de la computación. El gran genio matemático y de la computación Alan Turing diseñó en teoría lo que se conoce hoy como la “máquina Turing”. Por razones de espacio, no puedo explicar con detalles en que consiste, baste con indicar que es un modelo abstracto de computación en el que se postula una computadora que puede manipular símbolos. (Más abajo hay un vídeo que explica lo que es).

Alan Turing

Alan Turing (1912-1854)

En 1937, Alan Turing publicó un artículo titulado, “Sobre números computables con una aplicación al Entscheidungsprobleme“. ¿Puede diseñarse alguna computadora universal (una máquina Turing) que contenga un conjunto específicos de algoritmos que pueda responder “sí” o “no” a cada problema? Este asunto fue planteado por David Hilbert y Turing probó en su artículo que era insoluble utilizando como base los escritos de Gödel.

Para el filósofo y lógico Jaakko Hintikka, las limitaciones que muestran los teoremas de incompletud son las de las computadoras, incluyendo la de las máquinas de Turing.

[Gödel] showed the deductive incompleteness of (first-order) arithmetic. Such incompleteness is relative to a given formal method of logical proof, and it says that no such method can enumerate step by step all (and only) the true sentences of elementary arithmetic. Roughly speaking, there cannot be a computer that I can program in such way that when you push the button, the machine starts listing one by one all the true sentences of elementary arithmetic without your having to interfere in its operation in any way. As was explained, the “computers” meant here are to be understood as the idealized computing architectures called Turing machines (40).

He aquí el vídeo sobre las máquinas Turing:

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¿A dónde puede recurrir para conocer más del tema?

He aquí los textos de menor a mayor dificultad en torno al tema para cualquier persona que no sea de los campos de la lógica y las matemáticas formales.

  • Rebecca Goldstein, Incompleteness. – Este libro es encantador en cuanto a que narra la historia de Gödel de una manera refrescante e interesante. Puede ayudar al lector a ubicarse históricamente dentro de las discusiones que se dieron en los años 30 en Austria y lo que significó la incompletud de Gödel para el formalismo de Hilbert. En un momento dado ella explica “en arroz y habichuelas” (por así decirlo) los pasos de las pruebas del teorema de Gödel. Goldstein es extraordinaria a la hora de exponer la filosofía al público en general. Recomiendo la lectura de este y otro de sus libros, Plato at the Googleplex.
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  • Ernest Nagel y James R. Newman. Godel’s Proof. Este libro está a nivel de clásico a la hora de explicar en “arroz y habichuelas” en qué consisten los teoremas de Gödel. A pesar de ello, el lector tiene que hacer un ejercicio de paciencia para llegar a donde se quiere. Desgraciadamente, estos temas no son fáciles si se quieren comprender con detalle.
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  • Jaakko Hintikka, On Gödel.– Este es un libro un poco más técnico y su público está orientado a la filosofía. Para entender el contenido, se requiere instrucción en lógica formal básica.
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  • James Robert Brown, Philosophy of Mathematics.– Este es un libro introductorio a la filosofía de las matemáticas y no tiene como meta indagar los teoremas de incompletud.  Sin embargo, en el capítulo 5 se discute el programa de Hilbert y el efecto de los teoremas de incompletud de Gödel. Lo que es bueno de este libro es que en vez de utilizar la prueba extensa de Gödel, prefiere exponer unas pruebas más breves que desarrolló el filósofo y lógico George Boolos, que son de más fácil comprensión para el público no especialista.

Ahora, para aquel que quiera ver la prueba como tal y otras obras de Gödel, recomiendo la traducción de Jesús Mosterín de sus obras completas y que aparece en la sección de referencias.
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Referencias

Brown, James Robert. Philosophy of Mathematics: A Contemporary Introduction to the World of Proofs and Pictures. 2da. ed. Ed. Kindle. Routledge, 2008.

Coffa, J. A. The semantic tradition from Kant to Carnap. To the Vienna Station. Cambridge UP, 1991.

Frege, Gottlob. “Grundgesetze der Arithmetic, Volume I“. Traducido por Michael Beaney. The Frege Reader, editado por Michael Beaney, Blackwell, 1997, 194-223.

Gödel, Kurt. Obras completas. Traducido y editado por Jesús Mosterín, Alianza, 2006.

—. “Sobre sentencias formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas afines”. En Gödel, Obras, pp. 53-87.

—. “La suficiencia de los axiomas del cálculo lógico de primer orden.” en Gödel, Obras, pp. 23-37.

Goldstein, Rebecca.  Incompleteness: The Proof and Paradox of Kurt Gödel. Ed. Kindle. Atlas Books, 2005.

Hintikka, Jaakko. On Gödel. Wadsworth, 2000.

Katz, Jerrold. Realistic rationalism. MIT, 1998.

Nagel, Ernest y James R. Newman. Godel’s Proof. New York UP, 2001.

Rang, B. y W. Thomas. “Zermelo’s Discovery of the Russell Paradox.” Historia Mathematica, vol. 8, núm. 1, febrero de 1981. pp. 15-22.

Rosado Haddock, Guillermo E. “Why and How Platonism?”. Against the Current. Selected Philosophical Papers. Ontos, 2012, pp. 341-364.

Sokal, Alan y Jean Bricmont. Imposturas intelectuales. Paidós, 1999.

Torretti, Roberto. El paraíso de Cantor. La tradición conjuntista en la filosofía de la matemática. 1998.

Wang, Hao. Reflexiones sobre Kurt Gödel. Traducido por Pilar Castillo Criado, Alianza, 1991.

¿Son este blog y su autor “cientificistas”?

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El término “cientificismo” se ha vuelto uno muy popular en décadas recientes, especialmente cuando hablamos de los famosos “debates” entre religiosos y científicos. Es una etiqueta que se lanza libremente para acusar a cualquier persona que apoye a las ciencias sobre las convicciones religiosas o cosmovisiones sostenidas por diversos grupos, pertenezcan o no a una religión formalizada.

Ya este servidor está encontrándose con esa palabra como una acusación porque, por razones científicas, no le doy la razón a ciertos alegatos. Como se sabe, rechazamos (por el momento) la convicción de que el glifosato es cancerígeno, de que el creacionismo o el designio inteligente provean conocimiento genuino del pasado, de que la teoría cientológica de la mente es viable o de que hay una conspiración global que cumple con un propósito malévolo hacia la humanidad. Todo esto lo rechazo porque privilegio la evidencia científicamente evaluada y comprendida de acuerdo a las teorías mejor corroboradas y validadas. ¿Cuándo debemos cambiar nuestro parecer? Cuando aparezca evidencia buena y contundente de que estas creencias son correctas. Si esto es lo que significa la acusación de “cientificismo”, entonces me declaro culpable. Pero no se me podrá acusar de soberbia o arrogancia, ya que siempre estoy dispuesto a cambiar de parecer. Al contrario, le corresponde a mis acusadores que cualquier otra aproximación al mundo en estas materias es mejor que la científica … algo que ninguno de ellos ha podido argumentar con mucho éxito.

Esto no va a ser suficiente para persuadir a nuestros acusadores. ¿Qué es exactamente el “cientificismo”? ¿Cuál es la teoría filosófica sostenida por este servidor? Aquí responderé a esas interrogantes.

¿Qué es el “cientificismo?

Hoy día los términos “cientificismo” y “cientificista” se han convertido en lo que Iván Illich y Uwe Pörksen llamaban “palabras amebas” o “palabras plásticas”, pero con el objetivo de acusar a alguien por alguna posición afín a las ciencias. Las palabras plásticas tienen la característica de que, pero que por razones sociales se utiliza el mismo término para adoptar cada vez más significados diversos. Desde esta perspectiva es bien difícil definir lo que es el “cientificismo”.

En Wikipedia encontramos la siguiente descripción del “cientificismo” (scientism):

Scientism is a belief in the universal applicability of the scientific method and approach, and the view that empirical science constitutes the most “authoritative” worldview or the most valuable part of human learning—to the exclusion of other viewpoints.

En el mismo artículo, cita al filósofo Tom Sorell al respecto, quien lo define de esta manera:

Scientism is a matter of putting too high a value on natural science in comparison with other branches of learning or culture.

Otras definiciones mencionadas en ese artículo pueden ser equívocas, como la que postula la inducción como el único método de conocimiento. Aquellos que somos falsacionistas afirmamos las ciencias, pero rechazamos la visión clásica de la inducción. Otros hablan del rechazo a la metafísica como una forma de cientificismo, tal como sostenía el positivismo lógico. Como bien fue señalado por sus críticos, los supuestos antimetafísicos de dicho movimiento eran en sí metafísicos y no legitimados por la ciencia empírica.

Con el propósito de llegar a una definición funcional del término “cientificismo” vemos los siguientes factores comunes:

  • Las definiciones que sostienen diversos autores parecen establecer el centro de la controversia en las ciencias naturales.
  • Se habla de un establecimiento de las ciencias naturales como fundamento de todas las demás disciplinas.
  • Hay una especie de intromisión no deseada de las ciencias naturales en áreas en las que parece no tener autoridad.
  • Se establece a las ciencias naturales como fundamento de las actitudes existenciales de los seres humanos.

A partir de estos factores, definiremos el cientificismo funcionalmente de la siguiente manera:

El cientificismo es una postura metafísica y epistémica que estipula que las ciencias naturales son las únicas proveedoras de conocimiento, premisa que le permite transgredir su frontera de competencia a otros campos de conocimiento y de otra índole (en filosofía la llamamos “metábasis” por la frase en griego “μετάβασις εἰς ἄλλο γένος”, una transgresión a un género ajeno).

Con base en esta definición, ¿soy cientificista? ¿Es esa la postura de este blog?

Áreas de no competencia de las ciencias naturales

En la exposición siguiente, establezco la relación entre las ciencias en general de la siguiente manera:

ciencias

Admito que es un diagrama que sobresimplifica un poco la relación entre estos campos de investigación, pero es lo suficientemente detallado para nuestra discusión.

Ciencias formales y otras ciencias eidéticas

Leibniz_y_Hume

A la izquierda, G. W. Leibniz; a la derecha, David Hume.

Creo que en esta sección es suficiente para refutar las acusaciones de cientificismo. Aquí hablamos de áreas de conocimiento que son externas a las ciencias naturales. No puedo presentar todos los argumentos al respecto, pero esto han sido debidamente atendidos en varias obras filosóficas bien importantes, algunas que se han pasado por alto por muchos pensadores. Recomiendo la lectura de las siguientes obras al respecto:

El factor común de estas obras es que se basan en una distinción hecha por G. W. Leibniz entre verdades de razón y verdades de hecho, o la hecha por David Hume relations of ideasmatters of fact. Para ambos filósofos, las verdades de razón (o relations of ideas) se fundamentan solamente con la razón sin apelación alguna a la experiencia. Es decir, estas verdades son a priori y solo pueden justificarse de esa manera.

Las ciencias formales en general (la lógica formal y las matemáticas formales) son todas a priori. El teorema que nos dice que la raíz cuadrada de dos es un número irracional solo apela a principios (axiomas) matemáticos, sin ser corroborado o verificado por la experiencia. El Metateorema Henkin-Hasenjaeger solo utiliza como fundamento los axiomas lógicos, matemáticos y de teoría de modelos. No hay rastro alguno de nada empírico en él, todo es derivado a priori. Igual la geometría euclidiana o no euclidiana formalizada, teoría de conjuntos, etc.

Estas materias formales son genuinamente ciencias –en el sentido auténtico de la palabra alemana “Wissenschaft“–, es decir, proveedoras de conocimiento. Los teoremas de incompletud de Kurt Gödel proveyeron conocimiento decisivo y certero en torno al hecho de que si tomamos a las matemáticas como un todo, un sistema axiomático matemático consistente no puede derivar todas las verdades matemáticas posibles ni tampoco puede probarse que es consistente dentro del sistema. Ese conocimiento estableció de una vez y por todas (tal como confirmó George Boolos) lo que puede o no esperarse del ámbito matemático.

Lo mismo puede ocurrir en casos de materias no formalizadas, pero que son eidéticas, como en el caso de la geometría clásica. Estas parten de conceptos materiales de espacio que se tratan de manera abstracta a nivel matemático y que en sí parten de axiomas. Los demás teoremas y corolarios se desprenden de ellos.

Otra ciencia que puede considerarse eidética (aunque hay debate en cuanto a este punto) es la filosofía, ya que trabaja a nivel abstracto conceptual a la hora de interrogar racional y rigurosamente en torno a los conceptos usados en las demás ciencias, el significado del lenguaje utilizado en la cotidianidad, la adopción de principios lógicos para el encuentro de falacias, entre muchos otros. Ningunos de estos principios metafísicos y lógicos es reducible o fundamentables en las ciencias naturales.

En este sentido, una modalidad de cientificismo es la intromisión indebida (metábasis) de las ciencias naturales (que son ciencias a posteriori) a las ciencias eidéticas formales y materiales (ciencias a priori). Es más, como se ha podido demostrar en la filosofía una y otra vez, las ciencias a priori proveen la infraestructura formal y material de las ciencias naturales. Es al revés de lo que propone esta modalidad cientificista: Las ciencias eidéticas jamás apelan a las leyes cientificas o a los hechos del mundo, pero las ciencias fácticas si apelan a las ciencias formales y eidéticas para poder forjar sus teorías científicas sobre el mundo.

La ética y las ciencias naturales

Entre estas ciencias eidéticas de la filosofía se encuentra la ética. En este blog, hemos adoptado una posición deontológica moderada. La deontología fue sistematizada por primera vez por Immanuel Kant quien correctamente pudo notar el hecho de que la normativa ética no se puede derivar de manera alguna de los hechos.

G. E. Moore

George Edward Moore, el primer eticista en tratar rigurosamente el tema de la falacia naturalista.

El mismo David Hume, antes de Kant, pudo notar correctamente que los valores no pueden derivarse de los matters of facts –es decir, de los hechos–. A este reconocimiento se le conoce como la guillotina de Hume: hay una separación esencial entre valores y hechos, que no se puede derivar el “deber ser” a partir del “ser” (de los hechos). Contrario a los minerales o a las flores, los valores éticos no son acumulables, ni medibles, ni percibidos sensiblemente por experiencia. No es algo perteneciente a “allá fuera” en el mundo externo, sino que es captable por el entendimiento y la razón. A la falacia –una falla de razonamiento– en la que se cae al querer derivar los valores a partir de los hechos, o el “deber ser” a partir del “ser”, se conoce como falacia naturalista y que fue muy bien elaborada y tratada por el filósofo G. E. Moore en su Principia Ethica.

Esta falacia no es meramente una elucubración abstracta de unos filósofos sin nada más qué hacer, sentados bajo un árbol, mirando al cielo para preguntarse si el vaso está medio lleno o medio vacío. La falacia naturalista impacta la historia, muchas veces de manera catastrófica y es promovida en diferentes momentos y para distintos fines por todo el espectro de ideologías políticas. El darwinismo social y las formas más inhumanas de la eugenesia tuvieron como base una forma de falacia naturalista que conocemos como la “falacia de la apelación a la naturaleza“. El darwinismo social, según propuesto por Herbert Spencer y otros, postula que los avances de la sociedad son posibles gracias a la competencia, algo que “se puede constatar en la naturaleza”. En el caso de las formas más cuestionables de eugenesia, se utiliza indebidamente la genética para hablar de herencias fenotípicas “puras” o “impuras”, lo que lleva a la cuestionable catalogación de ciertas propiedades fenotípicas y sicológicas como “deseables” o “indeseables”. Ciertas modalidades del darwinismo social eran favorecidas por muchos en la derecha política a principios del siglo XX, mientras que la eugenesia fue respaldada por muchos en la izquierda como manera de rechazar el darwinismo social.

Hoy día, la falacia de la apelación a la naturaleza es lo que mueve a la industria orgánica cuando alega que su tipo de agricultura es “natural”, que solo utiliza fertilizantes “naturales” y que no emplea el uso de pesticidas (al menos esa es la impresión que tiene demasiadas personas). En primer lugar, la agricultura no es una actividad natural –por más que la gente sienta que lo es–. Al contrario, toda actividad agrícola, sea convencional u orgánica, supone a nivel práctico la destrucción del ecosistema existente del terreno donde se quiera sembrar para que el agricultor imponga el suyo. Gran parte de la destrucción de los hábitats en la naturaleza se debe a la agricultura y al ganado. Es más, debido a muchas de las serias deficiencias e ineficiencias de la producción orgánica —algo que reconoce la Organización de Alimentos y Agricultura de las Naciones Unidas (FAO)–, si se generalizara la agricultura orgánica al nivel que esta industria desea para alimentar el mundo, tendríamos que arrasar con áreas muy significativas que reducirían dramáticamente la biodiversidad a nivel mundial. Si los agricultores de trigo de la India no hubieran adoptado la tecnología de la Revolución verde de 1960 a 1966, durante ese periodo hubieran necesitado 44 millones de hectáreas adicionales (casi el área de California) para proveer la misma cantidad de ese cereal que produjo durante ese mismo periodo. En parte, ha habido una reforestación de casi el 72% de las tierras estadounidenses en parte gracias a las tecnologías de la Revolución verde. La industria orgánica no puede garantizar este grado de eficiencia. Además, como ya saben los científicos a saciedad, las mejores revisiones y metaanálisis científicas han demostrado más allá de toda duda que los alimentos orgánicos no son significativamente más nutritivos que los convencionales (ver esta revisión esta). Contrario a lo que muchos creen, la industria orgánica produce y usa pesticidas y ese factor usted lo puede comprobar yendo a su tienda preferida de mejoramiento del hogar y que encontrará con su debida rotulación de que son tóxicos. Estas sustancias son en su mayoría naturales, aunque bajo algunas circunstancias pueden ser artificiales y, en muchos casos, puede ser más dañina al ambiente y a la salud humana que muchos de los pesticidas sintéticos. Aunque se intenta demonizar a los alimentos transgénicos porque es “dañino a los seres humanos” aunque tenga una tasa de incidencia de perjuicio a nuestra especie que es exactamente 0%, podemos ver que en el año 2011 la disponibilidad de un producto orgánico llevó a la llamada “crisis del pepino“, en la que murieron 50 personas y se enfermaron cerca de 4,000 personas por E. coli., una estadística muy cercana a la de las cifras oficiales de las víctimas de Chernobyl. Esto significa que esta falacia de la apelación a la naturaleza  le cuesta muchísimo al bolsillo de los consumidores, que a su vez representa unas ventas que sumaban $43.3 mil millones en el 2015. Todo se basa en definiciones arbitrarias de lo que es “natural” y “artificial”, todo basado en un tipo de falacia naturalista.

Muy a pesar de Sam Harris y otros, es simplemente imposible derivar la ética de las ciencias. Lo que sí le corresponde a la ética es fundar y descubrir los valores y normativas éticas a priori. Pertenece al ámbito de las verdades de razón. Contrario al ámbito de los hechos, dichos valores o normativas no se encuentran en el mundo físico, sino en la evaluación crítica y racional de las propuestas filosóficas de acción y de las normativas sociales.  La ética responde a la pregunta de “¿Por qué actuar de esta manera?”, mientras que las ciencias naturales nos dicen “¿Cómo se puede hacer?”. En ese sentido, las ciencias naturales no sostienen los valores y normativas éticas (eso sería cientificismo), pero sí instruye en cuanto a la vía para cumplir con dichos valores y normativas.

Por eso, todo eticista responsable tiene en cuenta valores y la normativa ética como principios de acción y utiliza a las ciencias naturales (y sociales) como bases fácticas para la acción individual o colectiva.

Las ciencias naturales y las ciencias sociales

Las ciencias naturales son ciencias fácticas, cuyo conocimiento es a posteriori, es decir, cuyos referentes y fundamentos son los hechos según son experimentados y evaluados por científicos individuales o, muy especialmente, una colectividad de científicos. Las ciencias naturales pertenecen a una de dos ciencias fácticas, la otra siendo las ciencias sociales –sicología, historia, sociología, economía, política, la antropología, entre otras ciencias–.

Todo lo dicho para las ciencias naturales también vale para las ciencias sociales. Cualquier reducción de las ciencias eidéticas formales o materiales, incluyendo la ética, a las ciencias sociales sería otra forma de cientificismo. Sin embargo, ¿qué ocurriría si se intenta reducir las ciencias sociales a las ciencias naturales? Es nuestro parecer que ocurriría también el mismo problema cientificista.

Por ejemplo, la pertinencia de una ciencia específica depende de su objeto de estudio. Todo lo que es el ser humano tiene como fundamento los procesos creativos físicos, de los que emergen todos lo demás. La conciencia es un acto emergente de la mente y esta a su vez de los procesos computacionales del cerebro. De la interacción de mentes vía las conciencias, emergen las sociedades con todas sus expresiones culturales (“cultura” en sentido amplio). En estos niveles culturales, surgen problemas que les son propios y que no se resuelven a un más bajo nivel. El problema del estatus de subordinación de Puerto Rico a Estados Unidos es resultado de este proceso de emergencia natural a partir de las moléculas físicas que nos componen. Sin embargo, sería totalmente absurdo intentar resolver ese problema a nivel atómico. El puertorriqueño promedio sonreiría ante la sugerencia de que el estatus es producido por el cambio climático o por el grado de conversión de hidrógeno y oxígeno en agua. La política es posible debido a diferentes grados de relaciones sociales (económicos, culturales, jurídicos, etc.) y que no son reducibles a asuntos puramente físicos o  naturales. Esto no excluye en lo absoluto la pertinencia del entendimiento de procesos naturales que frecuentemente intervienen en asuntos políticos (e.g. la Pequeña Edad de Hielo o la libido del Presidente Bill Clinton). Sin embargo, tampoco se pueden reducir ciertas complejidades culturales a procesos físicos o biológicos. Estos últimos son base física y orgánica de aquellos, pero aquellos no son reducibles a estos. De otra manera, implicaría la reducción de las ciencias políticas (que estudia relaciones políticas) a las ciencias naturales, una sugerencia claramente ridícula.

Las ciencias fácticas o de los matters of fact

¿Cuál es entonces el lugar de las ciencias naturales? Edmund Husserl solía decir que las ciencias fácticas en general formulan ficciones (hipótesis, leyes, teorías) cum fundamento in re, es decir, las ciencias fácticas en general se dedican a formular cuerpos teoréticos que procuran explicar los hechos. Toda teoría científica fáctica intenta fundarse y a la vez explicar los matters of fact (como diría Hume).

En el caso de las ciencias naturales en particular, su intento es el de formular las mejores teorías que expliquen los fenómenos materiales y constituyentes de los seres vivos (biología) y no vivos (química, física, etc.) de acuerdo a unos criterios racionales (la lógica, las matemáticas, el naturalismo metodológico, la navaja de Ockam, etc.). Las ciencias naturales en general son las únicas que cuentan con las herramientas para el conocimiento del universo. Fuera de esto no hay otra manera de hacerlo.

Los grupos, sean religiosos o seculares, que sostengan una cosmovisión reñida con esta elemental convicción necesitan demostrar que su punto de vista es correcto. En esto, ellos han fallado enormemente. Desde los creacionistas hasta los grupos políticos verdes quieren ignorar las teorías científicas más sólidas y fructíferas para aferrarse a una cosmovisión que les conviene, sea por razones estéticas, por autoridad o por coerción social. De otra manera, se sienten compelidos a lanzar etiquetas por doquier cuando el consenso científico les reta a cambiar su parecer.

Deep-Thought-300pxLa adopción del escepticismo como actitud y filosofía de vida es un reconocimiento explícito de los mecanismos de engaño y autoengaño que existen en todo individuo y sociedad. Las ciencias en general proveen los mecanismos para atemperar nuestras actitudes y liberarnos de falsos prejuicios. Ese fue mi caso en el caso de los transgénicos. Creía todo lo que la maquinaria propagandística de la izquierda verde y orgánica afirmaba. Me familiaricé con lo que los estudios científicos tenían que decir al respecto y lentamente me di cuenta de que prácticamente nada de lo que sostenía era correcto. No puedo describir el dolor y el esfuerzo enorme que conlleva el cambio de parecer, desde perder valiosas amistades hasta chocar frecuentemente con muchos queridos amigos que siguen pensando de la misma manera que lo solía hacer. Sin embargo, vivir en integridad significa vivir de acuerdo a un compromiso de humildad intelectual ante la evidencia y una interacción espiritual con otros seres humanos y con el planeta Tierra con base en valores racionales éticos y en la información científica. Lo único que podría cambiar mi parecer es la evidencia misma científicamente evaluada. Como ser humano, siempre puedo estar equivocado. Como religioso naturalista así lo sostengo.

Hay cosas que usted no va a ver en este blog (al menos no por el futuro previsible):

  • Intentos de derivar las ciencias eidéticas de las ciencias naturales
  • Intentos de derivar la ética de las ciencias naturales
  • Intentos de derivar las ciencias sociales de las naturales

Ahora le pregunto a usted, ¿es este blog “cientificista”?