En estos días, las ciencias cognitivas han prosperado a la luz de ciertos descubrimientos en relación con la mente humana. Esto ha permitido formular nuevas preguntas en cuanto a la relación cerebro y mente, cómo emerge la conciencia, entre otros asuntos interesantes.

De todos los problemas planteados por este campo y por la neurología, ninguno es tan fascinante como el de conocer los números. Hoy los científicos cognitivos se asombran que bebés de días o meses de nacido tengan lo que se ha denominado “sentido de número”. Lo mismo contemplan en animales no humanos, a veces descubriendo que tienen facultades matemáticas más avanzadas de lo que se pensaban.

Por otro lado, se han presentado varias propuestas en relación con este tema. Lo asombroso de ellas es que todas las propuestas se autoproclaman antirealistas o antiplatonistas. Para orientar a los lectores, ¿qué es el realismo?, ¿qué es el platonismo? El realismo matemático es una posición que afirma que los conceptos matemáticos tienen como referentes a objetos abstractos como realmente existentes. Hasta el momento hay dos vertientes realistas en filosofía de las matemáticas:

1. Platonismo: Argumenta que dichos objetos matemáticos son entidades atemporales y esencialmente distintas e independientes de las temporales.
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2. Aristotelismo: En este caso se argumenta que los números son objetos abstractos que encontramos junto a los objetos físicos. Esta fue una vez la posición de la filósofa Penélope Maddy en su libro Realism in Mathematics. Ella ya ha cambiado de parecer al respecto y ahora sostiene una perspectiva naturalista de las matemáticas (véase su libro Naturalism in Mathematics). Hasta donde sé, no hay otro filósofo que apoye esta perspectiva.

Para complicar el asunto, no hay un solo tipo de platonismo, hay varios. Por ejemplo, Gottlob Frege sostenía la existencia de los números en calidad de objetos lógicos, entidades saturadas que podían definirse puramente a partir de definiciones y axiomas lógicos. Como ya hemos discutido en otro lado, esta perspectiva logicista no prosperó. El filósofo canadiense James Robert Brown sostiene un punto de vista platonista no logicista, pero se parece mucho al fregueano en cuanto a que sostiene que los números son entidades saturadas. Otros platonistas son estructuralistas de distintos tipos, tales como Edmund Husserl y Jerrold Katz quienes sostienen que los objetos matemáticos son estructuras objetuales (es decir estructuras que relacionan objetos de cualquier tipo). Hay otros estructuralistas como lo son Michael Resnik, que identifican los números con lugares dentro de estructuras abstractas.

Obviamente el platonismo en todas sus vertientes tiene el mismo problema: si los conceptos matemáticos se refieren a objetos atemporales y abstractos, ¿cómo los conocemos? Para el filósofo antirealista Paul Benacerraf, ese es un gran problema para una filosofía satisfactoria. Sin embargo, como él bien reconoce, la vertiente antirealista tiene el problema de no poder dar cuenta por completo de la solidez de las verdades matemáticas que sí puede brindar el platonismo.

Ninguno de los científicos cognitivos que adoptan posiciones antirealistas del “sentido de número” consulta los problemas filosóficos al respecto. Solamente suponen que lo abstracto no puede existir en el mundo, que el postulado de una cognición platonista contradice cualquier evolución del cerebro vía selección natural y que los números son construcciones cerebrales.

Hay gente como George Lakoff que van muchísimo más allá y hacen algunas aserciones torpes en torno al tema. Aunque su propuesta sicológica es interesantísima y merece mucha atención (creo que es en gran medida correcta), él entiende que con ello condena el platonismo y, para sorpresa del que aquí escribe, pondría en “serios aprietos” a la filosofía analítica. Su argumento es que si su teoría es correcta pondría en peligro la concepción correspondentista de la verdad, ya que hay conceptos matemáticos de las que se pueden decir verdades que no tienen referente. Desgraciadamente para Lakoff, la filosofía analítica no se compone exclusivamente de platonistas y correspondentistas. Es más, cualquier revisión de la literatura analítica concluiría que predominan (especialmente en el ámbito anglosajón) posiciones antiplatonista y que desde ellas se busca dar cuenta del conocimiento matemático. W. V. O. Quine, figura insigne en la tradición, no era platonista ni correspondentista. Además, Lakoff se le olvida que existen otras teorías de la verdad tales como la coherentista, la pragmática, la de redundancia, entre otras. Por cierto, la teoría correspondentista no es exclusiva de la filosofía analítica, muchas vertientes de la continental también comparten esa convicción.

Lakoff también afirma que un punto de vista antiplatonista y antiobjetivista de las matemáticas no caería en relativismo por el hecho de que todos los seres humanos compartimos la misma estructura cerebral que permite la misma cognición de números. Es increíble que a las alturas del siglo XXI volvemos a un refrito ya propuesto desde el siglo XVIII y que fue refutado por Husserl en el primer volumen de sus Investigaciones lógicas. Como señala el filósofo, sí se cae en relativismo cuando se adopta esa posición. Es lo que él llamó “relativismo específico”, es decir, el enlazar las verdades lógicas (y por extensión las matemáticas) a las estructuras mentales de una especie. Eso significa que es posible que otras especies tengan su mente estructurada a pensar de otra manera. Sin embargo, levantaríamos la ceja escéptica ante cualquier argumento de que considere perfectamente admisible y racional que otra especie sostenga como verdad “2+2=3” (en nuestro sentido de esos números), una aserción claramente falsa, no importa la especie que la piense.

Las objeciones al platonismo son comprensibles. Sin embargo, es solo unas cuantas propuestas platonistas que son inviables para la cognición. Aquí abordaremos una posición platonista estructuralista como la propuesta por Edmund Husserl y Jerrold Katz. Sostenemos que esta posición, con un fuerte énfasis en Husserl, aclarará cualquier problema en torno a la cognición.
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¿Qué son los objetos matemáticos?

Si vamos a hablar de la cognición de números o del “sentido de número”, tenemos que buscar primero una definición satisfactoria para entender cómo podemos conocerlos.

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¿Los objetos matemáticos como conjuntos?

Es prácticamente una posición consensuada entre los filósofos de las matemáticas que los objetos matemáticos se pueden reducir a números y estos a su vez a conjuntos. Aunque se puede ver claramente por qué se piensa eso, Husserl y Benacerraf presentan objeciones importantes.

Comencemos primero con las de Benacerraf. En su clásico ensayo “What Numbers Could Not Be”, él problematiza toda la discusión en torno a la reducibilidad de los números a conjuntos. Aunque tal reducción suena sencilla, en realidad es más complicada que lo que parece. Por ejemplo, pueden utilizarse dos teorías distintas para dar cuenta de la iteración de números. Dependiendo de la teoría, dicha iteración que representa el 1, 2, 3, etc., podría ser según la teoría A: {∅}, {{∅}}, {{{∅}}}, etc.; y según la teoría B: {∅}, {∅,{∅}}, {∅, {∅}}, {∅, {∅, {∅}}}, etc. Dado este hecho, la reducibilidad de los números a conjuntos se vuelve un problema serio. Cuando Benacerraf escribió su artículo, él pensaba que esto refutaba “el platonismo”. Sin embargo, lo único que logró refutar es ciertas formas de platonismo que reducían los números a conjuntos. Sin embargo, esta crítica no alcanza a platonismos no reduccionistas.

Ahora veamos las observaciones de Husserl. En 1887, defendió su disertación doctoral titulada Sobre el concepto de número y que se expandió después en el primer volumen de una obra inconclusa titulada Filosofía de la aritmética, publicado en 1891. Allí intentaba dar cuenta de la objetividad de las matemáticas suponiendo que los objetos matemáticos eran productos de la mente humana. Sin embargo, en su mente siempre hubo una tensión entre el matemático y el sicólogo. Husserl se formó en matemáticas y se había codeado con la crême-de-la-crême de su tiempo: fue discípulo de Karl Weierstrass y Leopold Kronecker, tuvo como mentores y amigos a Leo Königsberger y Georg Cantor y conocía muy bien a Felix Klein, Ernst Zermelo y David Hilbert. De hecho, por quince años Husserl perteneció al Círculo de Hilbert. Además, omo ha resaltado la filósofa e investigadora Stefania Centrone, en su obra temprana Husserl propuso por primera vez en la historia la noción más general de función recursiva. Debido a que su literatura temprana ha sido tan poco estudiada a través de los años, la gloria de la enunciación de este concepto matemático se la llevó Stephen Kleene, quien la propuso y probó casi 50 años después (Centrone 47, 54-61).

El Husserl matemático otorgaba una objetividad a los números, que el Husserl sicólogo admitía solo en calidad de fabricación mental. Para él, los números no eran completamente ficciones, ya que se basaban en la captación de conjuntos de objetos de la experiencia humana. Si tengo “tres” lápices, o “cinco” personas al frente de mí, o “muchos” asistentes a la conferencia, entonces eso significa que los números se definen en términos de grupos o conjuntos de objetos que podemos percibir sensiblemente. El sentido de número lo adquirimos cuando abstraemos esos elementos sensibles y retenemos la forma (es decir, los conjuntos) que son base de los números cardinales. Debido a las limitaciones perceptivas de los objetos sensibles, se requiere un sistema signos que posibilite la computación aritmética. Los números se definirían recursivamente y se asignan reglas computacionales para obtener resultados fiables a nivel puramente algorítmico. De allí podemos derivar todos los conceptos y verdades matemáticas utilizadas en la aritmética.

Sin embargo, en el invierno de 1890, un año antes de la publicación de su Filosofía de la aritmética, ya Husserl había abandonado su empresa. En una carta que le escribió a su mentor y amigo Carl Stumpf, le hizo saber que la aritmética no podía reducirse a números cardinales. Eso se debe en parte a que existen otros conceptos matemáticos perfectamente legítimos tales como los números ordinales, que no pueden reducirse a los cardinales. Además, hay otros tipos de números que no son constituibles con base en objetos sensibles tales como fracciones, números negativos, raíces negativas, números irracionales, entre otros. Todos estos números “imposibles” serían estrictamente productos imaginarios. Sin embargo, cuando se les relaciona con los números cardinales y se les asigna reglas matemáticas consistentes con ellos, estas nociones “contradictorias” se vuelven plenamente consistentes y se pueden usar científicamente. Es decir, es imposible reducir a todos estos conceptos a la noción de número cardinal y, por ende, al de conjuntos.
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Las entidades matemáticas como formas objetuales

Husserl también estaba preocupado por el asunto de la cognición de los números como tal para poder explicar su validez científica. Para ello distinguió entre dos esferas formales, a saber la de los significados y la de los objetos. En la esfera de los significados se encuentran las verdades, es decir, proposiciones que se cumplen en los objetos a los que se refieren. En la de los objetos, encontramos las formas de darse los objetos. Nuestro enfoque en esta discusión es en cuanto a esta esfera.

En Investigaciones lógicas (1900/1901), Husserl sostiene una perspectiva platonista de estas formas. Para entender en términos sencillos de lo que se trata, nos dice que lo que percibimos “de golpe” no son “datos sensoriales” (momentos de color, olor, sonido), sino estados de cosas (en alemán Sachverhalte). Es decir, yo no percibo tonalidades de blanco cuando miro a la pared, sino que veo la pared al frente de mí, esta  computadora sobre el escritorio, y otros estados de cosas parecidos. Todo estado de cosas tienen dos componentes:

• Componente material: los objetos sensibles
• Componente formal: la estructura formal que relaciona esos objetos

Husserl señala tabién que estas relaciones no son arbitrarias, sino que son constituidas por el entendimiento con base evidente en los objetos sensibles dados.

Nota aclaratoria: En la fenomenología husserliana, constitución no es lo mismo que creación. Sí, en el acto de relacionar objetos hay una actividad creadora mental innegable. Desde un punto de vista constitucional podemos hablar del “origen” de los números. Sin embargo, lo que valida la relación como tal es que se halla fundada en la esfera objetual, en lo que se da con evidencia sensorial o intelectiva.

Husserl llama “intuición sensible” a la percepción o imaginación de objetos sensibles. Denomina “intuición categorial” a la intuición de las formas objetuales en estados de cosas. Así que desde el punto de vista de aprehensión de fenómenos (es decir, desde un punto de vista fenomenológico), llevamos a cabo actos categoriales mixtos (intuición sensible y la categorial) en que se nos dan simultáneamente objetos sensibles y sus formas categoriales (formas objetuales) en estados de cosas. También añade a la lista una “intuición eidética” por la que nos percatamos con evidencia la posibilidad o imposibilidad, necesidad o contingencia, de ciertos objetos materiales o ciertas relaciones formales.

Vamos a intentar poner este asunto lo más en “arroz y habichuelas” posible. Por ejemplo, tenemos ante nosotros a María y Marta.

Los dos objetos sensibles constituidos son María y Marta que tienen ya una protorelación con base en la manera en que se nos dan, a esto Husserl llama situación (Sachlage). Puedo decir que María es más alta que Marta o que Marta es más baja que María. Con ambas aserciones nos referimos a dos estados de cosas distintos respectivamente que tienen como base una misma situación. ¿Por qué dos estados de cosas? Porque relacionamos formalmente los mismos objetos sensibles de manera distinta. Podemos ver sensiblemente a María y Marta, pero con base en esta percepción entendemos que una es más alta que la otra o que la segunda es más baja que la primera. Puedo también constituir otro estados de cosas:  el conjunto de Marta y María, la primera es María y después Marta de izquierda a derecha; o primero es Marta y después María de derecha a izquierda, etc. Todas estas palabras “conjunto”, “mayor”, “menor”, “primero”, “después”, etc. son formas objetuales, son estructuras formales de estados de cosas. Ellas no se perciben sensiblemente sino que se fundan en lo sensiblemente dado.

Vale decir que por intuición eidética sabemos que es perfectamente posible que si María es más alta que Marta, entonces esta última es más baja que María. Es imposible que si María es más alta que Marta, entonces Marta sea más alta que María. Como insiste Husserl en su obra, la captación o percepción de necesidades y posibilidades se nos dan instantáneamente y no son producto de hábito o costumbre. Jerrold Katz lo describe perfectamente de la siguiente manera:

Consider the pigeon-hole principle. Even mathematically naive people immediately see that, if m things are put into n pigeon-holes, then, when m is greater than n, some hole must contain more than one thing. We can eliminate prior acquaintance with the proof of the pigeon-hole principle, instantaneous discovery of the proof, lucky guesses, and so on as “impossibilities.” The only remaining explanation for the immediate knowledge of the principle is intuition (45).

Para Husserl, las bases de las matemáticas son las formas objetuales mismas, las estructuras formales de los estados de cosas. Estas pueden representarse mediante signos y se pueden asignar reglas para llevar a cabo operaciones computacionales. Sin embargo, una de las cosas que insistía Husserl era que dichos procedimientos de computación no son arbitrarios sino que son evidentemente necesarios. Nuestro entendimiento conoce al instante su necesidad con base en el darse posible en estados de cosas.  Por ende, la legitimidad de los procesos matemáticos descansa en su absoluta verdad atemporal válida siempre y para todo ser racional con total independencia de las especies que sean y de sus facultades mentales. Así como es una verdad atemporal que todo círculo es redondo, es verdad atemporal que todo objeto (el que sea) siempre se tiene que dar de acuerdo a unas estructuras formales que se relacionan de manera posible o necesaria con otros objetos y estados de cosas. Husserl llama matemática teorética (como extensión de la lógica teorética) a este lado atemporal de las matemáticas que legitima la corrección de actos computacionales mentales.
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Las estructuras madre de las matemáticas

Como hemos visto, Husserl incluye a los conjuntos como estructuras objetuales. Esta es una perspectiva semejante a la de Nicolai Bourbaki, un grupo de personas que designaban a estas estructuras formales como “estructuras madre”, aunque no les otorgaban ontología como hacía Husserl.   El rechazo al reduccionismo nos indica que para Husserl el conjunto no era las única estructura madre, sino que era una de muchas. Entre las que identificó en sus obras se encuentran: conjuntos, número cardinal, número ordinal, todo y partes, unidad y pluralidad, relación y objeto (en sentido general). Ninguna de estas formas es reducible a la otra.

Afirma Husserl que aunque estas estructuras forman los estados de cosas, las matemáticas no tratan de estados de cosas que involucren objetos sensibles. Las matemáticas investigan las relaciones posibles y necesarias de las formas objetuales en su pureza. Mediante la sustitución de los objetos sensibles por “indeterminados” (variables), podemos obtener la forma objetual pura. A este acto llamaba Husserl “abstracción categorial”, por la que podemos constituir categorías puras. Para todos los efectos, esta perspectiva provee una epistemología platonista de los conceptos matemáticos: todo lo que requiere es intuición categorial y abstracción categorial para la constitución de objetos matemáticos y la intuición eidética para investigar sus relaciones esenciales.

También reconoció la necesaria relación entre la verdad y la existencia. Toda proposición que tenga como referente a objetos debe suponer su existencia (lo que los filósofos conocemos como “el compromiso ontológico”). Husserl adoptó una suerte de teoría correspondentista en que considera verdadero todo juicio que se cumple en un estado de cosas correspondiente. Si esto es así, todo juicio matemático verdadero tiene como referente a estructuras formales existentes y objetivas. En otras palabras, tienen existencia ideal.

… los objetos ideales existen verdaderamente. Es evidente que no solo tiene sentido hablar de tales objetos (por ejemplo: del número 2, de la cualidad de rojez, del principio de [no] contradicción y otros semejantes) y representarlos como dotados de predicados, sino que también aprehendemos intelectivamente ciertas verdades categóricas, que se refieren a estos objetos ideales. Si estas verdades valen, tiene que existir todo aquello que presupone objetivamente su validez. Si veo con intelección que 4 es número par, que el predicado enunciado conviene realmente al objeto ideal 4, entonces este objeto no puede ser una mera ficción, una mera “façon de parler“, una nada (Investigaciones 309).

Fundándose en la noción de “objeto cualquiera”, para Husserl las formas objetuales son cada una de ellas el fundamento de sus respectivos campos de investigación matemáticas:  el conjunto es base de la teoría de conjuntos, los números cardinales son la base de la aritmética de números cardinales, los números ordinales son la base de la teoría de números ordinales, el todo y las partes fundamentan la mereología y así por el estilo. Esto no impide en absoluto que en matemática formal se busquen las relaciones entre distintos tipos de formas objetuales, como la de conjuntos de números cardinales, o entre conjuntos, todos y partes.  Para Husserl, la lógica formal tiene como correlato a la matemática formal y juntas constituyen la mathesis universalis soñada por los filósofos racionalistas como G. W. Leibniz.
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Primeras conclusiones

El lector tal vez se sorprenda de que la epistemología platonista por la que abogamos no suene demasiado místico o misterioso, sino que sea sorprendentemente ordinario. Que podemos reconocer estructuras formales con base en objetos sensiblemente dados es tal vez lo más trivial que se pueda señalar para un asunto que parecería ser demasiado complicado.

El énfasis en el lado objetual del conocimiento matemático y no en las facultades o procesos mentales que lo hacen posible tiene la intención de señalar unas fallas cruciales de los supuestos acercamientos antiplatonistas de algunos científicos cognitivos:

1. En primer lugar, sostenemos que las intuiciones que hemos discutido (sensibles, categoriales y eidéticas) son todas productos de la selección natural. No hay razón alguna para pensar que una epistemología platonista requiera unas facultades sobrenaturales para percibir objetos abstractos. Al contrario, argumentamos que es precisamente por selección natural que es posible el desarrollo gradual de un cerebro que por supervivencia pueda percibir y entender a nivel rudimentario los estados de cosas que representen de una u otra forma un reto para su existencia. El relojero ciego de la evolución va creando así los mecanismos de computación que hacen posible el llamado “sentido de número” (término que a veces confunde la intuición categorial con la eidética). Debido a accidentes históricos de nuestros antepasados, fueron desarrollando facultades de cálculo y ejecución que permiten ya las bases para el desarrollo de las matemáticas como las conocemos. Sin embargo, esta computación tiene como base los estados de cosas con los que los organismos deben enfrentarse en el proceso de sobrevivencia.
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2. Lo segundo es que no hay lugar a dudas que los actos de constitución de formas objetuales (números, conjuntos, etc.) son actos mentales y que requieren de la interacción modular de nuestra mente humana. Sin embargo, su verdad no depende de esta, sino de su necesidad y posibilidad ideales. No confundamos los actos mentales con la validez de sus contenidos: el acto de constituir la mesa con la mesa misma, o el acto de constituir el dos con el dos en sí. Los estados de cosas (no el cerebro humano) son la base cognitiva ya que sus objetos tienen que darse de ciertas maneras o formas y no de otras. Intelectivamente podemos reconocer  y comprender la diferencia entre ellos. Las relaciones necesarias y posibles entre dichas formas tampoco depende de reglas que arbitrariamente les asignamos, sino que tienen como objeto la preservación de las verdades matemáticas deductivamente a partir de axiomas (verdades reconocidas eidéticamente como autoevidentes, e.g. “x + y = y + x“).
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   Representación (exagerada) del corrimiento del perihelio de Mercurio. Ilustración cortesía de Rainer Zenz.

   En tercer lugar, también falla en dar cuenta cómo es posible que las matemáticas determinen las relaciones objetuales en el universo (en otras palabras, como diría Galileo, “por qué el universo está escrito con números”). El que el cerebro humano pueda computar números no explica este fenómeno, ya que deja fuera el factor de la obediencia de todos los objetos del universo a las relaciones formales matemáticas. Sí, Lakoff argumenta que las matemáticas no están afuera porque no hay “elipses allá afuera” y la órbita de los planetas no es realmente pura elipse.  Estamos totalmente de acuerdo, pero eso se debe a la interacción compleja entre objetos físicos conocidos y desconocidos. Además, su falta de adaptación a nuestras figuras idealizadas y divergencias de nuestros modelos se deben a nuestro desconocimiento de ciertas variables físicas de esta complejísima interacción entre objetos. Es un problema cognitivo, no objetual. Sin embargo, dichas interacciones sí están matemáticamente determinadas, aun si desconocemos algunas variables de dichas interacciones. Por eso, toda teoría científica debe ajustarse a las matemáticas y no al revés.
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4. Cuarto, como explicaremos con mayor detalle en la siguiente entrada de esta serie, este tipo de epistemología platonista explica muy bien por qué los animales no humanos y los bebés tienen un “sentido de número”.  Una vez más, tiene que ver con la génesis constitutiva de estados de cosas. Cuando un animal abre sus ojos al mundo, lo ve organizado y ordenado en unas protorelaciones que le permiten reconocer grupos o relaciones numéricas entre objetos. Lo mismo ocurre con los bebés cuando son “sensibles” a la integración o eliminación de un elemento de algún conjunto. Las formas “conjunto” y “número” se dan en cualquier estado de cosas a nivel rudimentario gracias a poder intuir categorialmente (intuición categorial mixta) al momento de percibirlo.
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5. Finalmente, si seguimos la filosofía de Husserl, parecería que el término “sentido de número” es equivocado. Si hay estructuras formales matemáticas que no son numéricas, pero que sí son formas objetuales, entonces debemos utilizar otro término. Sugiero (¡por supuesto!) “intuición categorial”. A su vez, debemos identificar distintos tipos de actos categoriales y sus formascorrespondientes: el acto de agrupar y los conjuntos, el orden de las cosas y los números ordinales, la enumeración cardinal y los números cardinales, la identificación del todo y sus partes, etc.

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Referencias

Benacerraf, Paul. “Mathematical Truth”. En Benacerraf y Putnam, pp. 403-420.

—. “What Numbers Could Not Be”. En Benacerraf y Putnam, pp. 272-294.

Benacerraf, Paul y Hilary Putnam, editores. Philosophy of Mathematics. Selected Readings. 2da. ed., Cambridge UP, 1983.

Centrone, Stefania. Logic and Philosophy of Mathematics in the Early Husserl. Springer, 2010.

Husserl, Edmund. Early Writings in the Philosophy of Logic and Mathematics. Editado y traducido por Dallas Willard, Kluwer, 2004.

—. Experiencia y juicio. Investigaciones acerca de la genealogía de la lógica. Traducido por Jan Reuter. U Nacional Autónoma de México, 1980.

—. Ideas relativas a una fenomenología pura y una filosofía fenomenológica. Libro Primero: Introducción general a la fenomenología pura. Traducido por José Gaos y refundido por Antonio Zirión Quijano, U Nacional Autónoma de México / Fondo de Cultura Económica, 2013.

—. “Letter from Edmund Husserl to Carl Stumpf”. Early Writings, pp. 12-19.

—. Introduction to Logic and Theory of Knowledge. Lectures 1906/1907. Traducido por Claire Ortiz Hill, Springer, 2008.

—.  Investigaciones lógicas. Traducido por Manuel García Morente y José Gaos, Alianza, 2006.

Katz, Jerrold. Realistic Rationalism. MIT P, 1998.