Los teoremas de Gödel, lo que dicen y lo que no implican

Kurt Gödel

Kurt Gödel (1906-1978)

En 1931, un excéntrico joven matemático austriaco llamado Kurt Gödel (1906-1973) pudo probar que un sistema matemático necesariamente debe ser “incompleto”. En el ámbito académico fuera de las matemáticas, usualmente se habla de “el teorema de incompletud” y muchos han conjeturado en torno a sus implicaciones. Usualmente muchas de sus aserciones son desacertadas.

Alan Sokal y Jean Bricmont, en su libro Imposturas intelectuales, presentan varias citas de académicos, algunos identificados con el llamado “posmodernismo” que reflejan una total ignoracia sobre el tema, pero que algunos doctores de disciplinas externas a las matemáticas dan por buenos. Por ejemplo:

La compatibilidad del axioma de elección y de la hipótesis generalizada del continuo con los axiomas de la teoría de conjuntos nos sitúa al nivel de un razonamiento a propósito de la teoría: una metateoría (y ese es el estatus del razonamiento semiótico) en la que los metateoremas han sido puestos a punto por Gödel. – Julia Kristeva (Sokal y Bricmont 58).

La noción de constructibilidad implicada por el axioma de elección, asociado a todo lo que acabamos de exponer con relación al lenguaje poético, explica la imposibilidad de establecer una contradicción en el espacio del lenguaje poético. Esta constatación se aproxima a la Gödel, relativa a la imposibilidad de establecer la contradicción de un sistema a través de medios formalizados en ese sistema. – Julia Kristeva (Sokal y Bricmont 60).

El enunciado del “secreto” de los infortunios colectivos, es decir, de la condición a priori de toda historia política pasada, presente y futura, se expresa en unos cuantos términos sencillos e infantiles. Si nos fijamos en que las definiciones del sobretrabajo y del inconsciente, se limitan, cada una de ellas a una sola frase (y, en ciencias físicas, la ecuación de la relatividad general a tres letras), nos guardaremos de confundir simplicidad con simplismo. Este secreto tiene la forma de una ley lógica, generalización del teorema de Gödel: no existe ningún sistema organizado sin clausura y ningún sistema puede clausurar exclusivamente con la ayuda de sus elementos interiores. – Régis Debray (Sokal y Bricmont 176).

Desde el día en que Gödel demostró que no existe una prueba de la consistencia de la aritmética de Peano formalizable en el marco de esta teoría (1931), los politólogos pudieron, por fin, comprender por qué había que momificar a Lenin y exhibirlo a los camaradas “accidentales” en un mausoleo, en el Centro de la Comunidad Nacional – Regis Débray (Sokal y Bricmont 175).

Si vamos a personas como Jean Beaudrillard o Michel Serres y otros, la cosa no mejora mucho. Para todo aquel que sea matemático y que lea estas citas estará en una de tres condiciones:

  1. O se le ha caído la quijada ante los disparates monstruosos de lo que se han hecho pasar por “grandes pensadores” en la academia o
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  2. estará muerto de la risa o
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  3. a punto de salir para darse varios tragos de whiskey para lidiar con estos sinsentidos.

Por otro lado, el público que no esté familiarizado con la lógica formal, las matemáticas avanzadas, la filosofía de la lógica o la filosofía de las matemáticas, se habrá asombrado de lo que reclaman Kristeva, Debray y otros. Lo que deberían saber, por razones que se harán obvias en este artículo, es que ninguno de ellos sabe de lo que dicen, pero introducen alusiones a los teoremas de Gödel y otros conceptos matemáticos precisamente para impresional al lector sin que eso aporte a lo que se esté discutiendo.

Por cierto, no hablamos de “el” teorema de Gödel, sino los teoremas de incompletud de Gödel. ¿Qué es lo que dicen? ¿Por qué son importantes? Y ¿cuáles son sus consecuencias?
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Un poco de historia

Desde el siglo XVIII hasta principios del siglo XX, las matemáticas florecieron de una manera impresionante al desarrollar teorías de los números imaginarios (es decir, raíces negativas), el cálculo (Isaac Newton y G. W. Leibniz), la geometría analítica, las geometrías no euclidianas, la teoría de conjuntos, entre otros.

Por el lado de la lógica, ciertos filósofos como Leibniz exploraban su asociación con las matemáticas.  Leibniz argumentaba que la lógica podía ser formalizable y convertirse junto a las matemáticas en una mathesis universalis, la matemática más universal de todas. Otros pensadores como Hermann Lotze y otros estuvieron de acuerdo con este parecer. Sin embargo, no fue hasta el siglo XIX que comenzaron varios intentos de la formalización de este campo. George Boole desarrolló la llamada “lógica booleana” que todavía se utiliza hoy día, especialmente en áreas de la computación. Charles S. Peirce también puso su grano de arena al desarrollar una teoría semiótica utilizando variables proposicionales.

¿Cómo debería entenderse la relación entre la lógica formal y las matemáticas? Esa era la pregunta filosófica que se hacían mucho. Para unos, como Immanuel Kant, eran dos disciplinas aparte (la primera es analítica y la segunda sintética a priori). Para otros, como Lotze, la aritmética (una de las ramas de la matemática) debía verse como una rama de la lógica.

Gottlob Frege (1905)

Gottlob Frege (1848-1925) en 1905.

Uno de los discípulos de este último llamado Gottlob Frege (1848-1923) se propuso precisamente a proyectar ese programa. En 1879 publicó un librito titulado Conceptografía (Begriffsschrift) donde proponía un sistema simbólico de la lógica formal con la que quería conseguir derivar la matemática no geométrica a partir de la lógica. También escribió un texto esencial actualmente en filosofía de las matemáticas titulado Los fundamentos de la aritmética (1884) donde intentaba justificar su notación y exponía su visión filosófica de la que partía. Tras escribir unos ensayos de filosofía del lenguaje para aclarar unos puntos semánticos (“Función y concepto”, “Sobre sentido y referente” y algunos otros) emprendió su labor.

Para comprender la obra de Frege y otros que discutiremos, debemos tener en cuenta que ha habido un debate milenario entre dos vertientes de la filosofía de las matemáticas: los realistas, es decir, aquellos que afirman que las entidades matemáticas tales como los números existen de alguna manera y los antirealistas, aquellos que niegan dicha existencia. El realismo usualmente ha tomado la vertiente platonista, es decir, una perspectiva que sostiene que el ser de estos entes matemáticos es fundamentalmente distinto al del mundo material, por lo que postula un ámbito atemporal distinto al temporal. Frege y otros en su tiempo (Georg Cantor y el mismo Kurt Gödel) sostenían esta posición. Otros partían de una posición antirealista, especialmente la del formalismo, una forma del nominalismo.  El nominalismo matemático postula que no existen los números ni otros conceptos abstractos, sino que estos no son más que los numerales. Visto de esta manera, las matemáticas no pasan de ser manipulación de puros signos sin significado (Brown cap. 5; Katz 10–24).

En 1893 publicó el primer volumen de su libro, Leyes fundamentales de la aritmética (Grundgesetze der Arithmetik) que intentaba probar su programa logicista, es decir, de demostrar que la aritmética se derivaba de la lógica. Al Frege distinguir entre signo, sentido (significado) y referente, él argumentaba que el formalismo de su época era inviable. En primer lugar, si los signos no tuvieran sentido (significado) no se explican ciertas reglas que al no seguirlas derivan contradicciones (por ejemplo, la división por cero). También, al reducir los números a meros signos, cualquier instancia del signo visual o auditivo (hoy le llamaríamos “tokens“) constituiría un número cualitativamente distinto. Si no tuvieran el mismo significado (el “type“) no se explica que hablemos de los números y sus propiedades.  Además, si las reglas en cuanto a estos tokens fueran puramente arbitrarios, entonces cualquier aserción en torno a estas reglas serían igualmente arbitrarias, convicción insostenible para cualquier matemático. Además, una cosa es el signo y otra el referente y esto se puede observar claramente cuando hablamos de las propiedades de los números:  las propiedades del numeral individual “2” que usted ve en su pantalla (es negro, entrecomillado, signo arábigo, etc.) es distinto al del dos como tal (es número primo, primer número par, el segundo número de los números naturales, etc.).(Brown cap. 5; Frege, “Grundgesetze” 200-201, 206-211; Rosado Haddock 343-346). Por lo tanto, para que las aserciones de la aritmética sean verdaderas, los numerales deberían tener significado y denotar los objetos a los que se refiere. Además, según su esquema logicista, debían ser objetos lógicos.

Una vez establecida esta filosofía, con el postulado de diversos axiomas y una regla de inferencia comenzó el proceso de probar la derivación de la aritmética a partir de la lógica. En 1901, antes de publicar el segundo volumen, recibió una carta del filósofo Bertrand Russell observándole que sus axiomas caían inevitablemente en lo que hoy se conoce como la Paradoja de Russell.

Hecho interesante: Aunque la paradoja de Russell se le conoce así por la carta de su autor a Frege, es menester señalar que el matemático Ernst Zermelo lo encontró antes y aparte de Russell en el contexto de la teoría de conjuntos.  Una vez lo descubrió, se lo dejó saber a David Hilbert y a Edmund Husserl.  De hecho, la evidencia más antigua que tenemos del descubrimiento de Zermelo es con el puño y letra de Husserl (Rang y Thomas). Es por esto que algunos filósofos argumentan que debería conocerse a este descubrimiento como la “Paradoja Zermelo-Russell”.

Frege publicó el segundo volumen de Los fundamentos en 1902 con un remiendo a la luz de dicha paradoja. Sin embargo, parece haberse dado cuenta que tal medida no funcionaba. Frege implícitamente se dio cuenta de que su programa logicista colapsó y optó por otra ruta de fundamentación de la aritmética.

Bertrand Russell

Bertrand Russell (1872-1970)

Este no fue el final del logicismo. Dos pensadores importantes de la lógica moderna, Bertrand Russell (1872) y Alfred N. Whitehead (1861-1947), diseñaron un nuevo programa con este propósito. Durante el periodo de 1910 a 1913, publicaron una obra clave en la historia de la lógica, las matemáticas y la filosofía analítica conocida como Principia Mathematica.  Este era un proyecto logicista mucho más ambicioso que el de Frege, ya que buscaba derivar no solo la aritmética sino toda la matemática de una serie de principios lógicos. Gracias a la labor del formalista David Hilbert, era posible reducir formalmente cualquier rama matemática del momento a un sistema formal basado en los axiomas de Peano, por lo que hacía más fácil establecer su vinculación con la lógica formal.

Allí, Russell y Whitehead desarrollaron lo que se conoce hoy como la lógica o cálculo de primer orden con las notaciones actuales usadas en la lógica formal. A pesar de la voluminosidad de la obra, no todos los filósofos, lógicos y matemáticos estaban convencidos de los resultados de la Principia. Por ejemplo, Russell y Whitehead se vieron en la necesidad de introducir lo que denominaron el “axioma de la reducibilidad“, un  postulado cuya única función era resolver un problema del sistema, a saber, derivar las matemáticas de la lógica mientras que se establece una distinción entre las fórmulas predicativas y las que no lo son. Al igual que en las ciencias, si los lógicos y matemáticos notan que una conjetura que no es autoevidente se introduce a conveniencia (es decir, tiene una función similar a la de un “remiendo”) sin justificación alguna, ellos levantan su ceja escéptica. El mismo Russell reconoció el problema.

David Hilbert

David Hilbert (1862-1943)

En todo este proceso, también intervino en esta compleja discusión otro gran genio matemático, David Hilbert (1862-1943). Él era formalista, pero más sofisticado que los anteriores.  Para él los números no existen, pero designan a formas estructurales de los objetos. Seguía la pauta de Kant, de que hay una intuición matemática que nos permite sacar verdades numéricas, como la de ver que al siete le puedo añadir cinco objetos más para alcanzar el doce, por lo que 7+5=12. Sin embargo, también estaba comprometido a dar cuenta de los transfinitos postulados por Georg Cantor y su teoría de conjuntos, pero sin caer en el platonismo (al menos en cuanto a decir que los infinitos matemáticos realmente existen). Los signos matemáticos como tal no tienen referente alguno sino que representan ciertas estructuras en el mundo.  Sin embargo, no tenemos experiencia alguna de “infinitos” en el mundo físico. La razón de este compromiso es que se quiere conservar la matemática clásica que relaciona objetos en el mundo, pero también se desea adaptar a las teorías matemáticas contemporáneas como la de conjuntos.

Para ello separó dos tipos de signos, aquellos que sí significaban algo y que denotaban estructuras cognoscibles en el mundo físico. Por el otro lado, aquellos signos que carecían de significado, pero que cumplían un rol importante dentro de las matemáticas (e.g. aquellos signos que representaban infinitos). Para Hilbert, se podían añadir a un sistema matemático cuanto símbolo carente de significado se tuviera, siempre y cuando el sistema de signos en su totalidad fuera completamente consistente, es decir, no generara ninguna paradoja o contradicción. Ya que se puede formalizar la lógica, las matemáticas en su totalidad, incluyendo la geometría (es decir, al convertir todas sus aserciones en sistemas de signos y someterlas a reglas formales), la pregunta pertinente era si un sistema numérico formalizado como el propuesto pr Principia era suficiente (es decir, “completas”) para derivar todas las fórmulas válidas posibles a partir de un conjunto de axiomas. A la búsqueda de esta respuesta se dedicó lo que se conoció como el “Programa de Hilbert“.
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El teorema de completud de Gödel

Kurt Gödel fue un gran matemático al que muchos han llamado el Einstein de las matemáticas, debido a que su obra fue en cierto sentido tan impactante en su campo como la teoría especial y general de la relatividad lo fue en el de la física. Generalmente se le ha visto como un miembro del Círculo de Viena, un grupo de intelectuales que investigaban filosóficamente la viabilidad de algún esquema epistemológico con base en los principios pautados por el empirista lógico Moritz Schlick. En realidad, Gödel nunca estuvo en sintonía con el grupo, especialmente por la obsesión de Schlick por Ludwig Wittgenstein. En ocasiones, el matemático hacía preguntas que irritaban al carismático autor del Tractatus Logico-Philosophicus. Era un platonista de la tradición racionalista que se codeaba con empiristas convencionalistas.

A pesar de ello, Gödel asistía al grupo, ya que era un centro importante de discusión de la lógica en Austria. A fin de cuentas, la obra empirista lógica era más lógica que empirista. Habían discípulos de Frege, Husserl (Rudolf Carnap lo era en secreto) y Russell entre sus filas y utilizaban la lógica de primer orden como base para sus discusiones. Más tarde, después asistir a una conferencia de Hilbert se interesó por el tema de la completud de las matemáticas y en 1928 leyó el libro Principios de la lógica matemática cuyo coautor era Hilbert. Allí se delimitaba el cálculo de primer orden de Principia Mathematica y sofisticó su capacidad deductiva. Sin embargo, todavía se planteaba la pregunta de si el sistema propuesto podía derivar todas las proposiciones válidas a partir del cálculo de primer orden.

En 1929 aprobó su tesis doctoral que consistió en buscar dicha suficiencia y cuya prueba publicó en 1930 bajo el título de “La completud de los axiomas del cálculo de primer orden” (Gödel, “La suficiencia”). Su respuesta a la interrogante era afirmativa: los recursos provistos por la lógica de primer orden eran suficientes para derivar todas las proposiciones válidas del sistema.

Teorema de la completud de Gödel:  Cualquier proposición válida de la lógica de primer orden se puede derivar utilizando los recursos provistos por los signos y los axiomas postulados en Principia Mathematica.

¿Qué significa “completud” en este contexto?

  1. Desde un punto de vista puramente de signos (sintaxis), los signos provistos eran suficientes para expresar cualquier proposición lógica válida.
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  2. Los axiomas y las reglas de inferencia del sistema propuesto por Russell y Whitehead son suficientes para derivar todas las posibles proposiciones lógicamente válidas.  Por ende, no hacen falta más axiomas o reglas de inferencia para derivar cualquier proposición formal lógicamente válida.
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  3. Solamente las proposiciones válidas eran derivables del sistema axiomático.
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  4. Que el sistema axiomático del cálculo de primer orden se encontraba libre de contradicciones.
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  5. Que una proposición probada sintácticamente dentro del sistema corresponde a una verdad semántica. Si la proposición F es verdadera dado el sistema de la lógica de primer orden, entonces ella puede ser probada dentro el sistema.

Este resultado fue motivo de regocijo para muchos, incluyendo a Hilbert. Sin embargo, esto no demostraba todavía que las matemáticas en general fueran completas.
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Los teoremas de incompletud de Gödel

El aliento esperanzador resultó ser prematuro. Al año siguiente, en 1931, Gödel publicó un artículo devastador para el programa de Hilbert (Gödel, “Sobre sentencias”). Logró probar dos teoremas sumamente importantes cuando se trata de la matemática formalizada en general:

  1. Un sistema axiomático consistente de la matemática formalizada  no puede derivar todas las fórmulas matemáticas que son verdaderas dentro del sistema.
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  2. Si un sistema axiomático de la matemática formalizada es consistente, entonces su consistencia no puede probarse dentro del sistema.

¿Qué significa eso? En cuanto al primer teorema, la consecuencia es clara. Hay fórmulas matemáticas que son verdaderas, pero que no pueden derivarse por el sistema axiomático, no importan cuántos axiomas se añadan para ello. Por ende, hay fórmulas que ellas o su negación no pueden decidirse como verdaderas dentro del sistema axiomático.

Lo otro es que si la matemática en general es consistente, entonces no podrá probarse como consistente dentro del sistema no importa los recursos que provea.
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Lo que los teoremas no están diciendo

Contrario a lo que piensan muchos académicos fuera del ámbito de las matemáticas, estos teoremas de incompletud no afirman lo siguiente:

  • No dicen que las matemáticas son contradictorias. Al contrario, puede ser que sean perfectamente consistentes, pero su consistencia no puede probarse dentro del sistema.  Además, que la aritmética de números naturales se ha probado consistente, véase por ejemplo la prueba de Gerhard Getzen.
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  • No dice que “cualquier” sistema axiomático deductivo sea incompleto.  Como hemos visto, la lógica de primer orden es completa o suficiente para derivar todas las proposiciones verdaderas dentro de ese sistema.
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  • Tampoco significa que ciertas ramas de las matemáticas consideradas por su cuenta no sean completas dentro de esa rama. Por ejemplo, Euclides estuvo muy cerca de crear un sistema geométrico que derivara todas las verdades geométricas que fueran consistentes con el axioma de las paralelas.
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  • Según Stephen Hawking, los resultados de Gödel implican que no puede haber una “Teoría del Todo”. Esto depende de cómo se defina “Todo” en este contexto. Lo que busca la física con la “Teoría del Todo” es unificar nómicamente dos áreas que de acuerdo con nuestras teorías presentes son incompatibles:  la fuerza gravitacional por un lado y, por el otro, las fuerzas electromagnéticas, nucleares fuertes y nucleares débiles. De esa manera se podría establecer solo un grupo de leyes consistentes que apliquen a todo el universo. Ahora, si por “Todo” se entiende todos los posibles fenómenos derivables de un conjunto de leyes postuladas por esa teoría, entonces podría ser posible que no se derivaran matemáticamente todas sus “verdades”.  El problema con hablar de derivar “verdades” en este contexto es que toda teoría física, por más buena y sofisticada que sea, es “verdadera” en un sentido muy tentativo:  es la mejor teoría disponible, pero nada garantiza que mañana la “Teoría del Todo” pueda ser superada de la misma manera que la teoría general relatividad de Einstein superó a la de Newton. Ninguna teoría puede tomarse como “verdad” en el sentido estricto del término.
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  • Tampoco hace aserción alguna sobre asuntos políticos o sociológicos. Contrario a Debray, Serres y otros “pensadores” perdidos en el espacio, los teoremas nada dicen sobre la revolución Rusa o sobre el futuro del planeta Tierra en términos económicos, políticos y sociales. Todo aquel que afirme lo contrario no pasa de ser o un ignorante o un charlatán.
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  • No probó la inexistencia de un ámbito abstracto matemático. Al contrario, Gödel vio en este caso una reafirmación de su platonismo. Es más, le sirvió para argumentar contra ciertas posturas antirealistas tales como el constructivismo matemático. Por ejemplo, si hay fórmulas matemáticas verdaderas de un sistema matemático, pero no puede derivarse de ellas, entonces las matemáticas no pueden ser construcciones nuestras. Todo constructor debe tener al menos algún conocimiento de las propiedades de su constructo. Aun si se argumentara que el constructor no puede conocer toda su construcción o sus consecuencias sino solo partes de ellas, todo constructor necesita una “materia prima” objetiva en la que debe basar su construcción, lo que presupone para las matemáticas la existencia de un ámbito objetivo en la que deben basarse nuestras construcciones. ¿Por qué? Porque al fin y al cabo, la construcción no puede ser “por la libre”, tiene que obedecer nómicamente las relaciones matemáticas para funcionar. Sin embargo, no todas estas leyes son cognoscibles dentro de los sistemas que se construyan (Rosado Haddock 347-349).
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El impacto para las matemáticas, la filosofía y las ciencias computacionales

Uno de los resultados más obvios después de la publicación del ensayo de Gödel es que le puso punto final al Programa de Hilbert. De eso hay poca disensión actual al respecto.

En segundo lugar, impactó sustancialmente a los programas logicistas del momento. Sencillamente, de la suficiente y completa lógica de primer orden no se puede derivar la insuficiente o incompleta aritmética de primer orden. Si un sistema finito de axiomas matemáticos no puede derivar todas las fórmulas matemáticas verdaderas, entonces no puede hablarse de que las matemáticas se deriven de los axiomas y reglas de inferencia de la lógica de primer orden.

Por cierto, eso no excluye que ambas disciplinas no sean “analíticas”, pero la analiticidad de las matemáticas ya no puede fundarse en definiciones logicistas (como la de Frege). Además, hay concepciones de la mathesis universalis que no son reduccionistas de esta manera. Por ejemplo, para Edmund Husserl, la lógica (lo que él llamaba “apofántica formal”) y las matemáticas formales (“ontología formal”) son dos disciplinas hermanas, analíticas, pero distintas. Las dos juntas forman la mathesis universalis soñada por Leibniz. Solo le otorgó ontología a los objetos matemáticos y los concibió como estructuras formales objetuales, no como objetos lógicos como Frege hacía. Es menester señalar que desde los años sesenta, ha habido un reavivamiento del logicismo (denominado “neologicismo”) basado en Frege que continúa hasta el día de hoy y procura superar los problemas que representan los teoremas de Gödel.

Lo otro que ocurrió tras la publicación en torno a los teoremas de incompletud es la distinción entre “verdad” y “prueba”. Solo algunas aserciones verdaderas de las matemáticas pueden derivarse de un grupo de axiomas. Sin embargo, contrario a la lógica de primer orden, no toda aserción matemática verdadera en el sistema puede ser probada por el sistema. Esto posibilitó el florecimiento de campos nuevos tales como la teoría de modelos, que estudia lógicamente la relación entre conjuntos de fórmulas de algún lenguaje formalizado y las estructuras matemáticas por las que se interpretan; de esta manera, trata de captar algunos aspectos semánticos de los lenguajes formalizados.

Otra distinción que se hizo era el de “completud sintáctica” y “completud semántica”. La completud sintáctica tiene que vercon el asunto de si el sistema es suficiente para derivar cualquier fórmula bien formada o su negación como teorema del sistema. La completud semántica ocurre cuando cualquier verdad deducida de un sistema axiomático es teorema de este. Gödel probó que la lógica de primer orden era semánticamente completa y también probó que las matemáticas formales no eran sintácticamente completas, debido a que hay fórmulas que no son derivables del sistema.  Por ende, el primer teorema de incompletud de Gödel se refiere a la completud sintáctica. En esta etapa, el gran matemático no había distinguido entre estos dos tipos de completud o suficiencia.

Ilustración de una máquina de Turing

Ilustración de una máquina de Turing.

También los teoremas tuvieron un resultado interesante con relación al tema de la computación. El gran genio matemático y de la computación Alan Turing diseñó en teoría lo que se conoce hoy como la “máquina Turing”. Por razones de espacio, no puedo explicar con detalles en que consiste, baste con indicar que es un modelo abstracto de computación en el que se postula una computadora que puede manipular símbolos. (Más abajo hay un vídeo que explica lo que es).

Alan Turing

Alan Turing (1912-1854)

En 1937, Alan Turing publicó un artículo titulado, “Sobre números computables con una aplicación al Entscheidungsprobleme“. ¿Puede diseñarse alguna computadora universal (una máquina Turing) que contenga un conjunto específicos de algoritmos que pueda responder “sí” o “no” a cada problema? Este asunto fue planteado por David Hilbert y Turing probó en su artículo que era insoluble utilizando como base los escritos de Gödel.

Para el filósofo y lógico Jaakko Hintikka, las limitaciones que muestran los teoremas de incompletud son las de las computadoras, incluyendo la de las máquinas de Turing.

[Gödel] showed the deductive incompleteness of (first-order) arithmetic. Such incompleteness is relative to a given formal method of logical proof, and it says that no such method can enumerate step by step all (and only) the true sentences of elementary arithmetic. Roughly speaking, there cannot be a computer that I can program in such way that when you push the button, the machine starts listing one by one all the true sentences of elementary arithmetic without your having to interfere in its operation in any way. As was explained, the “computers” meant here are to be understood as the idealized computing architectures called Turing machines (40).

He aquí el vídeo sobre las máquinas Turing:

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¿A dónde puede recurrir para conocer más del tema?

He aquí los textos de menor a mayor dificultad en torno al tema para cualquier persona que no sea de los campos de la lógica y las matemáticas formales.

  • Rebecca Goldstein, Incompleteness. – Este libro es encantador en cuanto a que narra la historia de Gödel de una manera refrescante e interesante. Puede ayudar al lector a ubicarse históricamente dentro de las discusiones que se dieron en los años 30 en Austria y lo que significó la incompletud de Gödel para el formalismo de Hilbert. En un momento dado ella explica “en arroz y habichuelas” (por así decirlo) los pasos de las pruebas del teorema de Gödel. Goldstein es extraordinaria a la hora de exponer la filosofía al público en general. Recomiendo la lectura de este y otro de sus libros, Plato at the Googleplex.
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  • Ernest Nagel y James R. Newman. Godel’s Proof. Este libro está a nivel de clásico a la hora de explicar en “arroz y habichuelas” en qué consisten los teoremas de Gödel. A pesar de ello, el lector tiene que hacer un ejercicio de paciencia para llegar a donde se quiere. Desgraciadamente, estos temas no son fáciles si se quieren comprender con detalle.
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  • Jaakko Hintikka, On Gödel.– Este es un libro un poco más técnico y su público está orientado a la filosofía. Para entender el contenido, se requiere instrucción en lógica formal básica.
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  • James Robert Brown, Philosophy of Mathematics.– Este es un libro introductorio a la filosofía de las matemáticas y no tiene como meta indagar los teoremas de incompletud.  Sin embargo, en el capítulo 5 se discute el programa de Hilbert y el efecto de los teoremas de incompletud de Gödel. Lo que es bueno de este libro es que en vez de utilizar la prueba extensa de Gödel, prefiere exponer unas pruebas más breves que desarrolló el filósofo y lógico George Boolos, que son de más fácil comprensión para el público no especialista.

Ahora, para aquel que quiera ver la prueba como tal y otras obras de Gödel, recomiendo la traducción de Jesús Mosterín de sus obras completas y que aparece en la sección de referencias.
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Referencias

Brown, James Robert. Philosophy of Mathematics: A Contemporary Introduction to the World of Proofs and Pictures. 2da. ed. Ed. Kindle. Routledge, 2008.

Coffa, J. A. The semantic tradition from Kant to Carnap. To the Vienna Station. Cambridge UP, 1991.

Frege, Gottlob. “Grundgesetze der Arithmetic, Volume I“. Traducido por Michael Beaney. The Frege Reader, editado por Michael Beaney, Blackwell, 1997, 194-223.

Gödel, Kurt. Obras completas. Traducido y editado por Jesús Mosterín, Alianza, 2006.

—. “Sobre sentencias formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas afines”. En Gödel, Obras, pp. 53-87.

—. “La suficiencia de los axiomas del cálculo lógico de primer orden.” en Gödel, Obras, pp. 23-37.

Goldstein, Rebecca.  Incompleteness: The Proof and Paradox of Kurt Gödel. Ed. Kindle. Atlas Books, 2005.

Hintikka, Jaakko. On Gödel. Wadsworth, 2000.

Katz, Jerrold. Realistic rationalism. MIT, 1998.

Nagel, Ernest y James R. Newman. Godel’s Proof. New York UP, 2001.

Rang, B. y W. Thomas. “Zermelo’s Discovery of the Russell Paradox.” Historia Mathematica, vol. 8, núm. 1, febrero de 1981. pp. 15-22.

Rosado Haddock, Guillermo E. “Why and How Platonism?”. Against the Current. Selected Philosophical Papers. Ontos, 2012, pp. 341-364.

Sokal, Alan y Jean Bricmont. Imposturas intelectuales. Paidós, 1999.

Torretti, Roberto. El paraíso de Cantor. La tradición conjuntista en la filosofía de la matemática. 1998.

Wang, Hao. Reflexiones sobre Kurt Gödel. Traducido por Pilar Castillo Criado, Alianza, 1991.

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